В курсе теории колебаний читаемого по Ландау-Лифшицу есть такая задача
2 одинаковых груза массы m подвешены в поле силы тяжести на пружинах жесткости
на расстоянии
др от др.грузы соединены пружиной жесткости
. Найти частоты и формы малых колебаний системы. В положении равновесия системы вертикальные пружины параллельны и имеют длину
, Система 3-мерна– движение перпендикулярно плоскости рис возможно.
Прежде чем решать такую задачу обратимся к задаче о колебаниях пружинного маятника.Термин этот затаскан. Чаще всего под ним понимают просто продольные колебания груза на пружине в направлении пружины. Строгую постановку такой задачи нащел только у Магнус К. Колебания: Введение в исследование колебательных систем

Вводя полярные координаты
(полная длина с учетом растяжения

-длина пружины с учетом статического растяжения от груза
уравнения (нелинейные)полученные им имеют вид


где

Если линеаризовать уравнения выкинув члены 2 и выше порядка малости получим


Т е 2 независимые формы малых колебаний с частотами w_r и w_t
Правда при этом теряется эффект неустойчивости исходной системы
В
http://elementy.ru/problems/1006/Kolebaniya_pruzhinnogo_mayatnikaпредлагается показать что у такого маятника период горизонтальных колебаний всегда больше периода вертикальных.
По моему это неочевидно В терминах задачи это означает условие

почему?
Возвращаясь к исходной задаче линеаризуем удлинения пружин
![$\Delta L_{12} =a_1-a=a[\sqrt{(1+\frac{x_2-x_1}{a})^2 +(\frac{y_2-y_1}{a})^2+(\frac{z_2-z_1}{a})^2} -1] \approx x_2-x_1 $ $\Delta L_{12} =a_1-a=a[\sqrt{(1+\frac{x_2-x_1}{a})^2 +(\frac{y_2-y_1}{a})^2+(\frac{z_2-z_1}{a})^2} -1] \approx x_2-x_1 $](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/e/dbe09c8f272480d0d98f284312e280be82.png)

аналогично

И получим систему линеаризованных уравнений

Получим 4 независимых формы собственных колебаний c частотами

и пару связанных форм

форма

отвечает колебаниям с одинаковыми углами

форма

-встречным колебаниям


Вроде так, с т.зрения малых колебаний, но еще Магнус отмечает что
форма качаний

(в его терминах) или

в наших терминах неустойчивы, вследствие нелинейной связи.
Так ли?