2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Носитель меры Радона
Сообщение28.03.2018, 10:12 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Введем обозначения $X=C(I),\quad I=[0,1]$.

Назовем элемент $f\in X'$ неотрицательным если $$\psi\in X,\quad \psi\ge 0\Longrightarrow (f,\psi)\ge 0.$$
Носителем элемента $f$ называется пересечение всех замкнутых множеств $V\subset I$ обладающих следующим свойством:
$$\varphi \in X,\quad\mathrm{supp}\,\varphi\subset I\backslash V\Longrightarrow (f,\varphi)=0.$$
Доказать, что всякое замкнутое подмножество $I$ является носителем некоторого неотрицательного элемента из $X'$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение29.03.2018, 18:03 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ну что, неужели ни кто не сподобится? А ведь классная задача! Нечасто мне такие штуки в голову приходят, даже приятно :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение29.03.2018, 19:02 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
Ну не то чтобы задача особо сложная... Неплохая, но в общем задача как задача, по курсу действительного и функционального анализа. Решение под спойлером.

(Решение)

Существует (не более чем) счетное подмножество $K=\{x_1,x_2,\ldots\}\subseteq I$ такое, что $I=\overline K$. Возьмем положительные числа $a_1,a_2,\ldots$ такие, что ряд $\sum a_i$ сходится. Положим $f=\sum a_i\delta(x-x_i)$, т.е. $f(\varphi)=\sum a_i\varphi(x_i)$. Доказательство того, что носитель $f$ --- в точности $I$, опустим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение29.03.2018, 19:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11017
Hogtown
 А вот найти условия на $M$, необходимые и достаточные для того, чтобы оно было носителем
1) абсолютно непрерывной меры
2) сингулярно непрерывной меры

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение29.03.2018, 20:21 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
В первом посте опечатку сделал, надо было писать $M$ вместо $I$ везде ($M$ --- рассматриваемое замкнутое множество, $I=[0,1]$--- исходный интервал).

(Ответ на вторую задачу)

Носитель непрерывной меры --- любое замкнутое множество без изолированных точек.
Сингулярной непрерывной меры --- совершенное множество меры нуль.
Абсолютно непрерывной меры --- замкнутое множество локально положительной меры, т.е. $\forall x\in M$ и любого интервала $(a,b)\ni x$ мера (обычная) пересечения $M\cap(a,b)$ положительна.
(Кажется, так...)

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение29.03.2018, 20:24 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
затер по причине последнего поста

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение29.03.2018, 20:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9953
pogulyat_vyshel в сообщении #1300410 писал(а):
Во-первых, вы даже не поняли условие и решили не поставленную задачу, а ее тривиальный частный случай.

Он же вроде как успел поправиться:
vpb в сообщении #1300408 писал(а):
В первом посте опечатку сделал, надо было писать $M$ вместо $I$ везде ($M$ --- рассматриваемое замкнутое множество, $I=[0,1]$--- исходный интервал).
Но, возможно, Вы её не успели заметить.

-- Чт мар 29, 2018 11:51:35 --

О решении расширенной задачи vpb, надеюсь, может пояснить сам.
Я имел в виду лишь исходную. :D

-- Чт мар 29, 2018 11:54:40 --

Хм. Пока отвечал, вопрос сам собой исчез...

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение29.03.2018, 21:02 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
vpb в сообщении #1300408 писал(а):
В первом посте опечатку сделал, надо было писать $M$ вместо $I$ везде ($M$ --- рассматриваемое замкнутое множество, $I=[0,1]$--- исходный интервал).

Да, это правильно. С отрезком действительно все оказалось просто.

Пусть $I$ -- отделимое вполне регулярное компактное (возможно тут одно следует из другого -- вопрос к топологам) топологическое пространство $ X=C(I)$-- банахово пространство с нормой $\|\psi\|=\max_{x\in I}|\psi(x)|$.


Теорема. Всякое замкнутое подмножество $I$ является носителем некоторого неотрицательного элемента из $X'$.

Доказательство. Через $K\subset I$ обозначим какое-нибудь замкнутое подмножество. И пусть $K\ne I$ -- иначе тоже самое с минимальными изменениями.


Множество $$W=\{f\in X'\mid\|f\|\le 1,\quad f\ge 0,\quad \mathrm{supp}\,f\subset K\}$$ частично упорядочено: для $f,g\in W$ по определению положим
$$f\ll g\Longleftrightarrow g-f\ge 0.$$
Пусть $\{f_\gamma\}$ -- цепь в $W$. Эта цепь является так же и направленностью (сетью). Поскольку единичный замкнутый шар пространства $X'$ является *-слабо компактным указанная направленность содержит *-слабо сходящуюся поднаправленность $\{f_{\gamma'}\}$, предел этой поднаправленности, обозначим его $f_*$, лежит в $W$ и является верхней гранью указанной направленности.

Действительно, пусть $\mathrm{supp}\,\psi\in I\backslash K$ тогда $(f_\gamma,\psi)=0$ в частности $(f_{\gamma'},\psi)=0$. Переходя к пределу в последней формуле, имеем $(f_*,\psi)=0$. Следовательно $\mathrm{supp}\,f_*\subset K$.





Таким образом, по лемме Цорна множество $W$ содержит максимальный элемент, обозначим его $m$. Покажем, что $\mathrm{supp}\,m=K.$
Действительно, пусть существует $\tilde x\in K\backslash \mathrm{supp}\,m$. Введем элемент $m'=\sup(m,\delta_{\tilde x})$ (Касательно операции $\sup$ на мерах Радона см [Л Шварц Анализ том 1] ) Ясно, что $ m\ll m'$.

В силу вполне регулярности, найдется неотрицательная функция $\tilde \psi\in X$такая, что $\tilde \psi(\tilde x)=1,\quad \mathrm{supp}\,\tilde\psi\subset I\backslash\mathrm{supp}\,m$. Откуда $(m,\tilde\psi)=0,\quad (m',\tilde\psi)=1$. Следовательно, $\mathrm{supp}\,m'=\mathrm{supp}\,m\cup\{\tilde x\},\quad m'\in W$ и
$m\ne m'.$ Это противоречит максимальности $m$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение29.03.2018, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1300408 писал(а):
Сингулярной непрерывной меры --- совершенное множество меры нуль.

Кстати, нет. Пример такой же: рассмотрим набор сингулярно непрерывных мер $\mu_k$, где носитель $\mu_k$ содержит $q_k$, и $q_k$ пробегает все рациональные точки. Пусть $\mu=\sum_k 2^{-k}\mu_k$.

Почему мера -- понятно.
Почему сосредоточена на множестве нулевой меры (не обязательно с замыканием нулевой меры!) понятно.
Почему нет зарядов -- тоже понятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Носитель меры Радона
Сообщение30.03.2018, 01:15 
Заслуженный участник


18/01/15
3073
g______d в сообщении #1300422 писал(а):
Кстати, нет

Мда. Называется век живи --- век учись, поспешишь --- людей насмешишь, etc. Значит, в данном случае просто любое совершенное множество. А доказательство писать чёта неохота.

(Оффтоп)

Приноровился, понимаешь, мыслить пословицами, кои суть кладезь народной мудрости... :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group