Носитель меры Радона

[pogulyat_vyshel]

Введем обозначения $X=C(I),\quad I=[0,1]$.

Назовем элемент $f\in X'$ неотрицательным если

$$\psi\in X,\quad \psi\ge 0\Longrightarrow (f,\psi)\ge 0.$$

Носителем элемента $f$ называется пересечение всех замкнутых множеств $V\subset I$ обладающих следующим свойством:

$$\varphi \in X,\quad\mathrm{supp}\,\varphi\subset I\backslash V\Longrightarrow (f,\varphi)=0.$$

Доказать, что всякое замкнутое подмножество $I$ является носителем некоторого неотрицательного элемента из $X'$.

[pogulyat_vyshel]

Ну что, неужели ни кто не сподобится? А ведь классная задача! Нечасто мне такие штуки в голову приходят, даже приятно :)

[vpb]

Ну не то чтобы задача особо сложная... Неплохая, но в общем задача как задача, по курсу действительного и функционального анализа. Решение под спойлером.

(Решение)

Существует (не более чем) счетное подмножество $K=\{x_1,x_2,\ldots\}\subseteq I$ такое, что $I=\overline K$. Возьмем положительные числа $a_1,a_2,\ldots$ такие, что ряд $\sum a_i$ сходится. Положим $f=\sum a_i\delta(x-x_i)$, т.е. $f(\varphi)=\sum a_i\varphi(x_i)$. Доказательство того, что носитель $f$ --- в точности $I$, опустим.

[Red_Herring]

 А вот найти условия на $M$, необходимые и достаточные для того, чтобы оно было носителем
1) абсолютно непрерывной меры
2) сингулярно непрерывной меры

[vpb]

В первом посте опечатку сделал, надо было писать $M$ вместо $I$ везде ($M$ --- рассматриваемое замкнутое множество, $I=[0,1]$--- исходный интервал).

(Ответ на вторую задачу)

Носитель непрерывной меры --- любое замкнутое множество без изолированных точек.
Сингулярной непрерывной меры --- совершенное множество меры нуль.
Абсолютно непрерывной меры --- замкнутое множество локально положительной меры, т.е. $\forall x\in M$ и любого интервала $(a,b)\ni x$ мера (обычная) пересечения $M\cap(a,b)$ положительна.
(Кажется, так...)

[pogulyat_vyshel]

затер по причине последнего поста

[Dan B-Yallay]

pogulyat_vyshel в сообщении #1300410 писал(а):

Во-первых, вы даже не поняли условие и решили не поставленную задачу, а ее тривиальный частный случай.

Он же вроде как успел поправиться:

vpb в сообщении #1300408 писал(а):

В первом посте опечатку сделал, надо было писать $M$ вместо $I$ везде ($M$ --- рассматриваемое замкнутое множество, $I=[0,1]$--- исходный интервал).

Но, возможно, Вы её не успели заметить.

-- Чт мар 29, 2018 11:51:35 --

О решении расширенной задачи vpb, надеюсь, может пояснить сам.
Я имел в виду лишь исходную.

-- Чт мар 29, 2018 11:54:40 --

Хм. Пока отвечал, вопрос сам собой исчез...

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1300408 писал(а):

В первом посте опечатку сделал, надо было писать $M$ вместо $I$ везде ($M$ --- рассматриваемое замкнутое множество, $I=[0,1]$--- исходный интервал).

Да, это правильно. С отрезком действительно все оказалось просто.

Пусть $I$ -- отделимое вполне регулярное компактное (возможно тут одно следует из другого -- вопрос к топологам) топологическое пространство $ X=C(I)$-- банахово пространство с нормой $\|\psi\|=\max_{x\in I}|\psi(x)|$.


Теорема. Всякое замкнутое подмножество $I$ является носителем некоторого неотрицательного элемента из $X'$.

Доказательство. Через $K\subset I$ обозначим какое-нибудь замкнутое подмножество. И пусть $K\ne I$ -- иначе тоже самое с минимальными изменениями.


Множество

$$W=\{f\in X'\mid\|f\|\le 1,\quad f\ge 0,\quad \mathrm{supp}\,f\subset K\}$$

частично упорядочено: для $f,g\in W$ по определению положим

$$f\ll g\Longleftrightarrow g-f\ge 0.$$

Пусть $\{f_\gamma\}$ -- цепь в $W$. Эта цепь является так же и направленностью (сетью). Поскольку единичный замкнутый шар пространства $X'$ является *-слабо компактным указанная направленность содержит *-слабо сходящуюся поднаправленность $\{f_{\gamma'}\}$, предел этой поднаправленности, обозначим его $f_*$, лежит в $W$ и является верхней гранью указанной направленности.

Действительно, пусть $\mathrm{supp}\,\psi\in I\backslash K$ тогда $(f_\gamma,\psi)=0$ в частности $(f_{\gamma'},\psi)=0$. Переходя к пределу в последней формуле, имеем $(f_*,\psi)=0$. Следовательно $\mathrm{supp}\,f_*\subset K$.





Таким образом, по лемме Цорна множество $W$ содержит максимальный элемент, обозначим его $m$. Покажем, что $\mathrm{supp}\,m=K.$
Действительно, пусть существует $\tilde x\in K\backslash \mathrm{supp}\,m$. Введем элемент $m'=\sup(m,\delta_{\tilde x})$ (Касательно операции $\sup$ на мерах Радона см [Л Шварц Анализ том 1] ) Ясно, что $ m\ll m'$.

В силу вполне регулярности, найдется неотрицательная функция $\tilde \psi\in X$такая, что $\tilde \psi(\tilde x)=1,\quad \mathrm{supp}\,\tilde\psi\subset I\backslash\mathrm{supp}\,m$. Откуда $(m,\tilde\psi)=0,\quad (m',\tilde\psi)=1$. Следовательно, $\mathrm{supp}\,m'=\mathrm{supp}\,m\cup\{\tilde x\},\quad m'\in W$ и
$m\ne m'.$ Это противоречит максимальности $m$.

[g______d]

(Оффтоп)

vpb в сообщении #1300408 писал(а):

Сингулярной непрерывной меры --- совершенное множество меры нуль.

Кстати, нет. Пример такой же: рассмотрим набор сингулярно непрерывных мер $\mu_k$, где носитель $\mu_k$ содержит $q_k$, и $q_k$ пробегает все рациональные точки. Пусть $\mu=\sum_k 2^{-k}\mu_k$.

Почему мера -- понятно.
Почему сосредоточена на множестве нулевой меры (не обязательно с замыканием нулевой меры!) понятно.
Почему нет зарядов -- тоже понятно.

[vpb]

g______d в сообщении #1300422 писал(а):

Кстати, нет

Мда. Называется век живи --- век учись, поспешишь --- людей насмешишь, etc. Значит, в данном случае просто любое совершенное множество. А доказательство писать чёта неохота.

(Оффтоп)

Приноровился, понимаешь, мыслить пословицами, кои суть кладезь народной мудрости...