Уравнение xy = 0

[StaticZero]

Ищем решение уравнения $xy = 0$, $y \in \mathcal D'$.

По определению, носителем обобщённой функции $f$ называется множество $\supp f: \left \{ \mathbb R \setminus \mathbb I \left. \right| (f, \varphi) = 0 \ \forall \varphi \in \mathcal D: \operatorname{supp} \varphi \subseteq \mathbb I \right \}$. Опять же,

Рассмотрим $\varphi \in \mathcal D$ и хотим, чтобы $\psi = \frac{\varphi(x)}{x} \in \mathcal D$. Напишем

$$ \psi^{(n)}(x) = \sum \limits_{k = 0}^n k! (-1)^k \binom{n}{k} \frac{\varphi^{(n-k)}(x)}{x^{k+1}}, $$

откуда для существования производных требуется, чтобы $\varphi^{(n-k)}(0) = 0$ $\forall n, k$, то есть $\varphi(0) = 0$ вместе со всеми производными. У такой функции $\varphi$, бесспорно, $0 \not \in \operatorname{supp} \varphi$.

Подставим функцию $\psi$ в уравнение:

$$ 0 = (xy, \psi) = (y, x \psi) = (y, \varphi). $$

Получаем, что если $\varphi(0) = 0$ со всеми производными, то $(y, \varphi) = 0$, но ведь это не все функции из $\mathcal D$ с носителем, не включающим нуля; можно, например, найти такую $\varphi$, чтобы $\varphi(0) = 0$, но $\varphi'(0) \ne 0$. У такой функции носитель по-прежнему нуля не включает, но сказать, что на такой функции $(y, \varphi) = 0$ уже представленным выше прямым рассуждением нельзя.

Вопрос такой: это я наложил слишком сильные ограничения на $\varphi$ или от этого вопроса тупо отмахнулись, сказав "очевидно отсюда, что $\operatorname{supp} y = \{ 0 \}$"?

[vpb]

Непонятное Вы что-то написали. Докажите для начала, что функции из ${\mathcal D}$, имеющие вид $x\varphi$, где $\varphi\in{\mathcal D}$ --- это в точности те, которые равны нулю в нуле.

[StaticZero]

vpb в сообщении #1299578 писал(а):

функции из ${\mathcal D}$, имеющие вид $x\varphi$, где $\varphi\in{\mathcal D}$ --- это в точности те, которые равны нулю в нуле.

Разложение Тейлора в окрестности нуля само сделает всю грязную работу? Или здесь что-то нетривиальное закопано?

[vpb]

StaticZero в сообщении #1299581 писал(а):

Разложение Тейлора в окрестности нуля само сделает всю грязную работу? Или здесь что-то нетривиальное закопано?

Не понимаю, что Вы этим хотели сказать. Вы, кажется, написали, что если $\varphi/x\in{\mathcal D}$, то все производные $\varphi$ в нуле --- нули. Ну так это не так.

(Оффтоп)

В общем, спать пора.

[StaticZero]

vpb в сообщении #1299584 писал(а):

написали, что если $\varphi/x\in{\mathcal D}$, то все производные $\varphi$ в нуле --- нули. Ну так это не так.

Да. Но я все ещё не понимаю, что не так.

StaticZero в сообщении #1299572 писал(а):

[g______d]

StaticZero в сообщении #1299572 писал(а):

откуда для существования производных требуется, чтобы $\varphi^{(n-k)}(0) = 0$ $\forall n, k$,

Это достаточное условие, но не необходимое.

-- Сб, 24 мар 2018 18:58:06 --

StaticZero в сообщении #1299581 писал(а):

Разложение Тейлора в окрестности нуля само сделает всю грязную работу? Или здесь что-то нетривиальное закопано?

Закопано разложение Тейлора в нуле в форме Адамара.

[StaticZero]

g______d в сообщении #1299587 писал(а):

Это достаточное условие, но не необходимое

Видимо, затруднения состоят в том, что не видно, как может быть $\psi \in \mathcal D$, но при этом не все производные $\varphi$ в нуле нули...

[g______d]

StaticZero в сообщении #1299588 писал(а):

Видимо, затруднения состоят в том, что не видно, как может быть $\psi \in \mathcal D$, но при этом не все производные $\varphi$ в нуле нули...

Возьмите какую-нибудь функцию из $\mathcal D$, и умножьте её на $x$. Неужели от этого все производные в нуле станут нулевыми?

[pogulyat_vyshel]

Следите за рукой

$$(\delta ,\psi)=0\Longrightarrow \psi=x\varphi\Longrightarrow(y,\psi)=0\Longrightarrow \ker\delta\subset\ker y\Longrightarrow y=const\cdot\delta$$

[StaticZero]

g______d в сообщении #1299587 писал(а):

в форме Адамара.

А здесь фиксирую свой недостаток мат. образования. Не встречался с таким названием. С именем Адамара и рядами связана теорема о сходимости с нулевым радиусом...

pogulyat_vyshel в сообщении #1299600 писал(а):

Следите за рукой

$$(\delta ,\psi)=0\Longrightarrow \psi=x\varphi\Longrightarrow(y,\psi)=0\Longrightarrow \ker\delta\subset\ker y\Longrightarrow y=\operatorname{const}\cdot\delta$$

(я поправил шрифт в формуле)

Я читаю это так: пусть $\psi$ — основная функция с $\psi(0) = 0$. Тогда её можно записать в виде $\psi = x \varphi$, где $\varphi$ — другая основная функция. Имеем $(y, \psi) = (xy, \varphi)$ и это ноль, так как уравнение. А дальше в какую сторону включение должно быть? Если бы можно было заявить, что $\operatorname{supp} y \subseteq \operatorname{supp} \delta$, то тогда всё очевидно. Но я не понял, на основании чего можно такое заявить.

Собственно, в предыдущем параграфе в курсе была доказана теорема о том, что носитель, сосредоточенный в одной точке, имеет линейная комбинация дельты и её производных и только она, а потом идёт то корявое рассуждение из стартового поста, что если функция $y$ удовлетворяет уравнению $xy = 0$, то её носитель сосредоточен в нуле...

[pogulyat_vyshel]

StaticZero в сообщении #1299631 писал(а):

Собственно, в предыдущем параграфе в курсе была доказана теорема о том, что носитель, сосредоточенный в одной точке, имеет линейная комбинация дельты и её производных и только она,

Правильно! И поэтому вы будете применять эту теорему и только ее, и больше ничего не видеть и не слышать. Флаг в руку

[StaticZero]

pogulyat_vyshel в сообщении #1299638 писал(а):

больше ничего не видеть и не слышать

В вашем посте $\ker f = \mathbb R \setminus \operatorname{supp} f$?

[pogulyat_vyshel]

$\ker$ это ядро линейного функционала, Вы в курсе, что обобщенная функция это линейный функционал?
Так вот есть очень простая и весьма полезная теорема из алгебры
Если $f,f_1,\ldots, f_m:X\to\mathbb{R}$ -- линейные функционалы на линейном пространстве $X$ и

$$\cap_{i=1}^m\ker f_i\subset \ker f$$

то $f=\lambda_1 f_1+\ldots+\lambda_m f_m$
Вы должны смочь доказать это самостоятельно

[Red_Herring]

(Оффтоп)

Замечу, что это конечная линейная комбинация (т.е. не ряд), если речь идет об обычных обобщенных функциях из $\mathscr{D}'$. Если же рассмореть обобщенные функции над классами Жевре, т.е пространствами пробных функций, меньшими чем $\mathscr{D}$, то возможны и (определенные) бесконечные линейные комбинации.

StaticZero
Вот вам задачка для размышления: упростить $\sin(x)\delta'''(x)$.

StaticZero в сообщении #1299631 писал(а):

сосредоточенный в одной точке, имеет линейная комбинация дельты и её производных и только она

-- 25.03.2018, 07:58 --

StaticZero в сообщении #1299645 писал(а):

В вашем посте $\ker f = \mathbb R \setminus \operatorname{supp} f$?

?!!! Где лежит левая часть? И где правая?

[StaticZero]

Red_Herring в сообщении #1299650 писал(а):

Замечу, что это конечная линейная комбинация (т.е. не ряд), если речь идет об обычных обобщенных функциях из $\matshscr{D}'$

Угу.

Red_Herring в сообщении #1299650 писал(а):

Вот вам задачка для размышления: упростить $\sin(x)\delta'''(x)$.

$$ \begin{align*} &(\delta'''(x) \sin x, \varphi(x) ) = (\delta'''(x), \varphi (x) \sin x ) = (-1)^3 (\delta(x), (\varphi(x) \sin x )''') = - \left. \left[ \varphi(x) \sin x \right]'''\right|_{x = 0} = \\ =&-(\varphi'''(0) \sin 0 + 3 \varphi''(0) \cos 0 - 3 \varphi'(0) \sin 0 - \varphi(0) \cos 0) = (\delta, \varphi) - 3 (\delta, \varphi'') = (\delta, \varphi) - 3 (\delta'', \varphi) = \\ =&(\delta - 3 \delta'', \varphi) \end{align*} $$

Ответ: $\delta - 3 \delta''$

pogulyat_vyshel в сообщении #1299649 писал(а):

$\ker$ это ядро линейного функционала, Вы в курсе, что обобщенная функция это линейный функционал?

Ок. Да, в курсе.

В вашем посте написано, что если на некоторой функции $\psi$ верно $(\delta ,\psi) = 0$, то на этой же функции необходимо и $(y, \psi) = 0$, но может быть так, что на каких-то других функциях $(y, \psi) = 0$ при том, что $(\delta, \psi) \ne 0$ (иное до этого момента не установлено). В этом смысле теперь включение понятно. Я вас правильно понимаю? (Да, я топчусь на месте, если мне до конца не понятна логика, с тем, чтобы её понять до конца)

pogulyat_vyshel в сообщении #1299649 писал(а):

$$\cap_{i=1}^m\ker f_i\subset \ker f$$

Подумаю.

-- 25.03.2018, 16:09 --

Red_Herring в сообщении #1299650 писал(а):

?!!! Где лежит левая часть? И где правая?

Обозначение уточнял, типа. Если, как сказал pogulyat_vyshel, $\ker$ есть ядро функционала, то левая часть, очевидно, в $\mathcal D$. А правая - подмножество $\mathbb R$.

-- 25.03.2018, 16:33 --

StaticZero в сообщении #1299659 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1299650

писал(а):
Вот вам задачка для размышления: упростить $\sin(x)\delta'''(x)$.

$$ \begin{align*} &(\delta'''(x) \sin x, \varphi(x) ) = (\delta'''(x), \varphi (x) \sin x ) = (-1)^3 (\delta(x), (\varphi(x) \sin x )''') = - \left. \left[ \varphi(x) \sin x \right]'''\right|_{x = 0} = \\ =&-(\varphi'''(0) \sin 0 + 3 \varphi''(0) \cos 0 - 3 \varphi'(0) \sin 0 - \varphi(0) \cos 0) = (\delta, \varphi) - 3 (\delta, \varphi'') = (\delta, \varphi) - 3 (\delta'', \varphi) = \\ =&(\delta - 3 \delta'', \varphi) \end{align*} $$

Ответ: $\delta - 3 \delta''$

Но $\delta'''(x) \sin x$ не контрпример, если я правильно понял теорему. У этой штуки носитель сосредоточен в нуле, значит, она есть линейная комбинация дельт с производными. Я проделал соответствующие вычисления, и действительно, она тождественно равна линейной комбинации, хотя по виду ей не является.