Задачи на понимание

[Anton_Peplov]

Да, я понимаю. Вот функция Хевисайда:
$\begin{cases}x^2,&x>0\\0,&x\leqslant 0.\end{cases}$
Ее правая производная в точке $x = 0$ равна нулю, левая - тоже. Значит, в точке $x = 0$ существует производная, равная нулю. Что не так?

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #1064070 писал(а):

Да, я понимаю. Вот функция Хевисайда:
$\begin{cases}x^2,&x>0\\0,&x\leqslant 0.\end{cases}$

Нет, функция Хевисайда

$$\theta(x)=\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}$$

(иногда в нуле доопределяется по-другому, что в данном случае не важно). А то, что вы написали - это указанная мной функция $x^2\theta(x),$ произведение функции Хевисайда на параболу, которое я предложил в качестве ответа на вашу задачу. Но я не говорил, что это произведение - функция Хевисайда. Хосподи, да вы три раза могли в Википедию слазить...

[Anton_Peplov]

Мог. Но был уверен, что понял Вас правильно. А вот - понял неправильно. Сознаю свою вину, меру, степень, глубину.

[Munin]

Бывает.

[demolishka]

Зря тему забросили

Задача 1. Вычислить частную производную по $x$ в точке $(1,0)$ от функции $f(x,y)=\frac{\cos^{2}(xy)}{x^2+y^2}\cdot \arctg(xy + 1)$.
Задача 2. Как соотносятся признаки Коши и Даламбера сходимости рядов? Следует ли из выполнения условий одного из них выполнение условий другого? Если нет, то привести соответствующий пример.

[StaticZero]

Anton_Peplov в сообщении #1058352 писал(а):

Задача 3. Будем рассматривать функции, определенные на всем $\mathbb{R}$. Назовем свойство $\varphi$ функции $f(x)$ локальным, если его выполнение на множестве $A$ равносильно его выполнению в каждой точке этого множества. Назовем свойство $\varphi$ железно локальным, если найдется такая функция $f(x)$, что свойство $\varphi$ выполняется для нее в одной и только одной точке. Назовем свойство $\varphi$ ну вообще локальным, если его выполнение или невыполнение для функции $f(x)$ в точке $x_0$ зависит только от значения функции в точке $x_0$. Какие из нижеперечисленных свойств являются: а) локальными; б) железно локальными; в) ну вообще локальными?
1) непрерывность
2) дифференцируемость
3) интегрируемость
4) ограниченность.

По поводу свойства железной локальности в свете непрерывности и дифференцируемости есть каноничный пример, который в теме не всплывал в явном виде, как я понял: это функция $x^n \mathcal D(x)$, которая при $n=0$ разрывна везде, при $n=1$ непрерывна лишь в нуле, при $n=2$ в нуле дифференцируема (а больше нигде), ну и так далее.

[pogulyat_vyshel]

1) Доказать ,что последовательность $\{\sin(nx)\}$ не содержит почти всюду сходящейся на $[0,2\pi]$ подпоследовательности
2) однородный шар может кататься без проскальзывания по внутренности полусферической чашки в поле силы тяжести. является ли нижнее положение равновесия шара устойчивым?

[wrest]

pogulyat_vyshel в сообщении #1299622 писал(а):

однородный шар может кататься без проскальзывания по внутренности полусферической чашки в

Скажите, а это означает, что он может вращаться на месте (к примеру, в нижнем положении равновесия, если при этом шар касается чашки только в одной точке)?