ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии

[epros]

evgenykurbatov в сообщении #1299472 писал(а):

замена, о которой вы написали, ничего не меняет.

epros в сообщении #1299466 писал(а):

$\xi^{(k)}_i$ преобразуются по другим правилам

[arseniiv]

Sicker в сообщении #1299446 писал(а):

четырехмерный ток равен внешней производной от сопряжения по звездочке Ходжа по 2-форме эл-маг поля

evgenykurbatov в сообщении #1299464 писал(а):

Вообще, именно это я имел в виду. Как нужно написать правильно?

Напрямую: $J = d{\star}F$.

[evgenykurbatov]

Erleker в сообщении #1299473 писал(а):

evgenykurbatov
У вас получаются 4 интеграла по 4 скалярам (скалярным произведениям) соответственно. В чем проблема?

Буквально вот в чём. Имеем $j^k = \boldsymbol{e}^k \boldsymbol{j}$, $\boldsymbol{\xi}^{(k)} = \boldsymbol{e}^k$. Заменяем

$$ j^k \mapsto \xi_i^{(k)} j^i = (\boldsymbol{e}^k \boldsymbol{e}_i)\,(\boldsymbol{e}^i \boldsymbol{j}) = \boldsymbol{e}^k \boldsymbol{j} = j^k \;. $$

-- 24.03.2018, 18:23 --

arseniiv в сообщении #1299480 писал(а):

Sicker в сообщении #1299446 писал(а):

четырехмерный ток равен внешней производной от сопряжения по звездочке Ходжа по 2-форме эл-маг поля

evgenykurbatov в сообщении #1299464 писал(а):

Вообще, именно это я имел в виду. Как нужно написать правильно?

Напрямую: $J = d{\star}F$.

Если это расписать в координатах, получится дифур. Вопрос, можно ли получить интегральное соотношение и какой в этом смысл.

-- 24.03.2018, 18:28 --

epros в сообщении #1299474 писал(а):

evgenykurbatov в сообщении #1299472 писал(а):

замена, о которой вы написали, ничего не меняет.

epros в сообщении #1299466 писал(а):

$\xi^{(k)}_i$ преобразуются по другим правилам

Так дайте определение $\xi$ или ткните в источник.

[epros]

evgenykurbatov в сообщении #1299481 писал(а):

Так дайте определение $\xi$ или ткните в источник.

Какое ещё Вам нужно определение? Я же сказал: берёте любую четвёрку ковариантных векторных плотностей. Кстати, случай, когда не существует такой системы координат, в которой $\xi^{(k)}_i$ записывается единичной матрицей, тоже интересный. Если же Вы всё же хотите рассматривать такие координаты, в которых это единичная матрица, то можете смело говорить о "системе отсчёта, связанной с данными координатами".

[evgenykurbatov]

epros в сообщении #1299486 писал(а):

evgenykurbatov в сообщении #1299481 писал(а):

Так дайте определение $\xi$ или ткните в источник.

Какое ещё Вам нужно определение? Я же сказал: берёте любую четвёрку ковариантных векторных плотностей. Кстати, случай, когда не существует такой системы координат, в которой $\xi^{(k)}_i$ записывается единичной матрицей, тоже интересный. Если же Вы всё же хотите рассматривать такие координаты, в которых это единичная матрица, то можете смело говорить о "системе отсчёта, связанной с данными координатами".

Я не случайно задал этот вопрос на физическом форуме, а не на математическом. Пусть $j$ - вектор тока. Что такое эти ваши $\xi$?
В тех координатах, где $\xi^{(k)}_i$ записывается единичной матрицей, имеем $\boldsymbol{\xi}^{(k)} = \boldsymbol{e}^k$. Это нужно доказывать?

[epros]

evgenykurbatov в сообщении #1299489 писал(а):

В тех координатах, где $\xi^{(k)}_i$ записывается единичной матрицей, имеем $\boldsymbol{\xi}^{(k)} = \boldsymbol{e}^k$. Это нужно доказывать?

Это же у Вас векторное равенство? Это не то же самое, что равенство между четвёрками чисел, которое верно только в рамках одной системы координат.

[arseniiv]

evgenykurbatov в сообщении #1299481 писал(а):

Если это расписать в координатах, получится дифур. Вопрос, можно ли получить интегральное соотношение и какой в этом смысл.

Ну и используйте обобщённую теорему Стокса $\int_{\partial\Gamma} \alpha = \int_{\Gamma} d\alpha$, в данном случае выходит

$$\int_{\Gamma} J = \int_{\Gamma} d\star F = \int_{\partial\Gamma}\star F,$$

и осталось только определить, какова должна быть размерность области $\Gamma$. После этого можете хоть в координатах, хоть не в координатах.

-- Сб мар 24, 2018 21:42:24 --

Разумеется, когда теорема применима. Но когда она неприменима, там ведь обычно и в других местах проблемы должны быть…

[Munin]

evgenykurbatov в сообщении #1299481 писал(а):

Если это расписать в координатах, получится дифур. Вопрос, можно ли получить интегральное соотношение и какой в этом смысл.

В искривлённом пространстве-времени, интегральное соотношение может быть только скалярным. Смиритесь с этим.