2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии
Сообщение24.03.2018, 18:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
evgenykurbatov в сообщении #1299472 писал(а):
замена, о которой вы написали, ничего не меняет.
epros в сообщении #1299466 писал(а):
$\xi^{(k)}_i$ преобразуются по другим правилам

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии
Сообщение24.03.2018, 18:20 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sicker в сообщении #1299446 писал(а):
четырехмерный ток равен внешней производной от сопряжения по звездочке Ходжа по 2-форме эл-маг поля
evgenykurbatov в сообщении #1299464 писал(а):
Вообще, именно это я имел в виду. Как нужно написать правильно?
Напрямую: $J = d{\star}F$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии
Сообщение24.03.2018, 18:20 


28/09/17
9
Erleker в сообщении #1299473 писал(а):
evgenykurbatov
У вас получаются 4 интеграла по 4 скалярам (скалярным произведениям) соответственно. В чем проблема?

Буквально вот в чём. Имеем $j^k = \boldsymbol{e}^k \boldsymbol{j}$, $\boldsymbol{\xi}^{(k)} = \boldsymbol{e}^k$. Заменяем
$$
j^k \mapsto \xi_i^{(k)} j^i = (\boldsymbol{e}^k \boldsymbol{e}_i)\,(\boldsymbol{e}^i \boldsymbol{j}) = \boldsymbol{e}^k \boldsymbol{j} = j^k  \;.
$$

-- 24.03.2018, 18:23 --

arseniiv в сообщении #1299480 писал(а):
Sicker в сообщении #1299446 писал(а):
четырехмерный ток равен внешней производной от сопряжения по звездочке Ходжа по 2-форме эл-маг поля
evgenykurbatov в сообщении #1299464 писал(а):
Вообще, именно это я имел в виду. Как нужно написать правильно?
Напрямую: $J = d{\star}F$.

Если это расписать в координатах, получится дифур. Вопрос, можно ли получить интегральное соотношение и какой в этом смысл.

-- 24.03.2018, 18:28 --

epros в сообщении #1299474 писал(а):
evgenykurbatov в сообщении #1299472 писал(а):
замена, о которой вы написали, ничего не меняет.
epros в сообщении #1299466 писал(а):
$\xi^{(k)}_i$ преобразуются по другим правилам

Так дайте определение $\xi$ или ткните в источник.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии
Сообщение24.03.2018, 18:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
evgenykurbatov в сообщении #1299481 писал(а):
Так дайте определение $\xi$ или ткните в источник.
Какое ещё Вам нужно определение? Я же сказал: берёте любую четвёрку ковариантных векторных плотностей. Кстати, случай, когда не существует такой системы координат, в которой $\xi^{(k)}_i$ записывается единичной матрицей, тоже интересный. Если же Вы всё же хотите рассматривать такие координаты, в которых это единичная матрица, то можете смело говорить о "системе отсчёта, связанной с данными координатами".

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии
Сообщение24.03.2018, 18:49 


28/09/17
9
epros в сообщении #1299486 писал(а):
evgenykurbatov в сообщении #1299481 писал(а):
Так дайте определение $\xi$ или ткните в источник.
Какое ещё Вам нужно определение? Я же сказал: берёте любую четвёрку ковариантных векторных плотностей. Кстати, случай, когда не существует такой системы координат, в которой $\xi^{(k)}_i$ записывается единичной матрицей, тоже интересный. Если же Вы всё же хотите рассматривать такие координаты, в которых это единичная матрица, то можете смело говорить о "системе отсчёта, связанной с данными координатами".

Я не случайно задал этот вопрос на физическом форуме, а не на математическом. Пусть $j$ - вектор тока. Что такое эти ваши $\xi$?
В тех координатах, где $\xi^{(k)}_i$ записывается единичной матрицей, имеем $\boldsymbol{\xi}^{(k)} = \boldsymbol{e}^k$. Это нужно доказывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии
Сообщение24.03.2018, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10414
evgenykurbatov в сообщении #1299489 писал(а):
В тех координатах, где $\xi^{(k)}_i$ записывается единичной матрицей, имеем $\boldsymbol{\xi}^{(k)} = \boldsymbol{e}^k$. Это нужно доказывать?
Это же у Вас векторное равенство? Это не то же самое, что равенство между четвёрками чисел, которое верно только в рамках одной системы координат.

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии
Сообщение24.03.2018, 19:41 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
evgenykurbatov в сообщении #1299481 писал(а):
Если это расписать в координатах, получится дифур. Вопрос, можно ли получить интегральное соотношение и какой в этом смысл.
Ну и используйте обобщённую теорему Стокса $\int_{\partial\Gamma} \alpha = \int_{\Gamma} d\alpha$, в данном случае выходит $$\int_{\Gamma} J = \int_{\Gamma} d\star F = \int_{\partial\Gamma}\star F,$$и осталось только определить, какова должна быть размерность области $\Gamma$. После этого можете хоть в координатах, хоть не в координатах. :roll:

-- Сб мар 24, 2018 21:42:24 --

Разумеется, когда теорема применима. Но когда она неприменима, там ведь обычно и в других местах проблемы должны быть…

 Профиль  
                  
 
 Re: ОТО: Интеграл от вектора на гладком многообразии
Сообщение24.03.2018, 20:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
evgenykurbatov в сообщении #1299481 писал(а):
Если это расписать в координатах, получится дифур. Вопрос, можно ли получить интегральное соотношение и какой в этом смысл.

В искривлённом пространстве-времени, интегральное соотношение может быть только скалярным. Смиритесь с этим.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group