Уважаемый Александр Казачок.
Я нашел ошибку в вашей статье на странице 13
"Поскольку два из трех членов первых соотношений, т.е. * и ,
гладкие функции координат, то и третьему члену, а точнее производной , очевидно, тоже присущи эти свойства"
Это не верное утверждение.
Есть гладкая функция скорости, производная которой (т.е. ускорение) в какой-то момент времени или в какой-то координате станет неопpеделенной или равна бесконечности.Tо есть функция станет
не гладкой.
Тогда все ваши рассуждения становятся ложными.То есть задан вектор скорости, но вектор ускорения не существует в какой-то точке или области.
А функции скорости в турбулентном течении, не зависящей от времени, не бывает.
Пример, в момент времени t = 2 cек проходит землятрясение и ванна с водой, стоящая на крыше, опрокидывается. Часть воды выливается.
Или при перемещении ванны в точку с координатами (на улицу из комнаты где мороз или в г. Помпеи),
x = 2 м, y =1 м, z = 1 м, есть процесс, который приводит систему в другое состояние. Вода закипает.Предположим, что началось извержения кратера Везувий. И поэтому мы не можем утверждать, что для всех времен или для всех координат ваше утверждение справедливо.
Это один из элементов сложности доказательства.
1. Если функция скорости была бы задана в виде:
U(x,t)=A*sqrt(x^2 - 2*x) + B*sqrt(t^2 - 2*t) ;
sqrt - функция квадратного корня.^ - функция возведения в квадрат.
A и B - const, x- координата, t - время
Ее производная по x равна A*(x-1)/sqrt(x^2 - 2*x),
Ее производная по t равна B*(x-1)/sqrt(t^2 - 2*t).
При x= 2 м и t=2 сек (это критические точки функции) видно, что функция скорости существует, она гладкая и равна нулю.
А частные производные не существуют.В дроби знаменатель равен нулю.
Я надеюсь, это понятно.
2. Если бы скорость выражалась функцией:
(x -10)* ln (x - 10)
При x = 10 величина скорости неопределена.Ноль в степени ноль - это неопределенная величина.
Если мы возведем в степень (x-10)
выражение под натуральным логарифмом,
то, ноль в степени ноль - не
определенное выражение
А производная по x от неё равна:
ln(x -10) - 10/(x -10).
И она бесконечна при x = 10.
Вместо x, например, может стоять время.
Это 2 примера с неопределенностью и бесконечностью.
И таких функций много.И сама функция и ее производная не определена при значении x = 10.Это следует из определения логарифмической функции.Это дается в школе.
3. А если ваша производная по скорости превратилась в не монотонную функцию?
То есть у нее нет предела при стремлении аргументов к бесконечности.
((-1)^x)/x.
Минус от единицы в степени x, деленная на x.
Если x четно, то величина производной положительно.Если нет, отрицательно.
Один математик писал, что он 5 лет работал по 12 часов каждый день.И так и не понял, где ошибся, когда опубликовал. Пока ему не указали. Было 12 попыток уже таких неудачных за несколько лет.
Смит не нашла сама ошибку.Она задачей занималась много лет.
Полезнее будет для нас изложить исходные условия задачи.Что дано.И что надо найти. Показать, как она была бы решена для более простых систем.
Например, взять уравнение волновое или теплопроводности или еще какое-то и показать, почему для них удалось решить похожую задачу.
В этой проблеме ценен рост нашей математической культуры. Интерес других к задаче. К самому предмету. А не деньги. Которых никогда не заплатят.
Для меня мат. аппарат по уравнению Навье-Стокса-
очень сложен. Так как используются разные обозначения в разных книгах и странах. Много опечаток.
В книге Ладыженской на английском приводится точное решение для плоского уpавенения Навье-Стокса в цилиндрической система координат.
O. Ladyzhenskaya, The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows", 2nd edition), Gordon and Breach, 1969.
Но как я не старался, тождество не выполняется ни для какого уравнения.Скорее всего здесь опечатка.
Она не приводит пример (как принято для примера), о чем она говорит.
Это стандартное плохое изложение математиками теории диф уравнений.
И используется такой мат. аппарат, теория неравенств, которые не изучаются в стандартных курсах в университетах.Они не наглядны.
Когда читаешь книги Ладыженской, то не понятно. Используется и тензорное исчисление и понятия из функционального анализа. Но все это оказывается недостаточно даже для неё.
Поэтому, она даже пришла к ошибочному вывроду, что ур. Н.С. надо видоизменить, чтобы получить точное решение.
Это уравнение имеет совершенно фантастическое решение.Такую функцию вы никогда не видели.
А Стокс или Эйлер не использовали сложнейшие обозначения и приятно читать их работы.
Поэтому требуется книга, где бы последовательно, без тензорных обозначений эта 6 проблема была очень подробно изложена.
Переведена с тарабарского языка на язык, понятный студентам 2 - 3 курса любого университета.И тогда эта проблема будет решена при нашей жизни.Я абсолютно уверен.
Пока задачу пытается решить несколько человек, кто знаком со сверхсложной системой обозначений и с мат. апаратом терии уравнений в частных производных по данной теме, с теорией функционального анализа и тензорного исчисления. Это у них хобби, как игра в гольф.Три сложности наложены на четвертую.
И у кого есть свободное время от работы и других задачь.
Я могу предполагать, что сокращенное изложение решения займет не меньше 100 страниц.
Я попробую написать черновик и поместить на сайт только описания формулировки этой задачи.А вы меня поправите.
Кстати появилась книга и статьи в интернете на английском бесплатно по теме дискуссии.
Claes Johnson Computational Turbulent Incompressible Flow
Applied Mathematics: Body & Soul Vol 4
October 20, 2006
Там есть полностью 4 книги
http://www.nada.kth.se/~cgjoh
может вам что-нибудь будет полезно.
Мое сообщение кем-то портится, меняют текст.
![\[
t
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/4/f54127cc9bd1ba6923e74f16a25bdbce82.png "\[
t
\]")
. Если принять во внимание, что в уравнение для давления (16) время ![\[
p(t)
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/e/f2efc4be3a345c94b0b27e64d45deb8082.png "\[
p(t)
\]")
в исследуемой области в силу ее гармоничности будет обеспечена, когда 
считается не имеющим смысла.
![\[
x_i
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/f/98fdcc95521984090eca709d3809d0dd82.png "\[
x_i
\]")
задаются «через посредство» лишь ![\[
\varsigma
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/f/a0ffe9fb0d7da63d7d4a9aa00229c90182.png "\[
\varsigma
\]")
. Примем во внимание (например, Кочин Н.Е., «Векторное исчисление…»), что «все основные свойства производных сохраняются и для производных векторов (стр. 79)». В таком случае «компоненты производной вектора равны производным от компонент данного вектора,… а правило дифференцирования сложных функций применяется и к векторам (стр. 80)». Поэтому полагая, что сложная функция является вектором скорости ![\[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t)
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/5/de50e26695b9a445bd1f40643a86fc7c82.png "\[
\dot \vec u = \dot \vec u(x,y,z,t)
\]")
, получим три формулы для частных производных сложной вектор-функции по пространственным координатам
![\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}
{{\partial x_i }},(x_i = x,y,z)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/d/edd94c8b11d76cd3d48c630f0aab408782.png "\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}\frac{{\partial \varsigma }}
{{\partial x_i }},(x_i = x,y,z)
\]")
(1)
![\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/e/00eb05150d37a059ab080e92f321988682.png "\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial \varsigma }}
\]")
и поочередно приравнивая их правые части, получим
![\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/d/1/1d13fc0ef2076e2ce4d3f084dad2e03b82.png "\[
\frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot \vec u}}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]")
(2)
![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/0/4304bb378713d08d299f6c91aef68cfa82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}},\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }}\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]")
(3)
![\[
\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/c/c/5ccd706c6e9ce236084b55eeff02aa4d82.png "\[
\frac{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
{{{{\partial \varsigma } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \varsigma } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
\]")
и поочередно приравнять правые части полученных выражений, то получим варианты взаимосвязей между произведениями производных
![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/8/c98d5f7188a44df0c8da34eb499fff9082.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x_i }}
\]")
(4)
![\[
x_i = x,y,z
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/f/a7f88e75731891380d464e91b63fb0dc82.png "\[
x_i = x,y,z
\]")
, а также ![\[
x_j \ne x_i
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/9/509d17d4b1f28e3198dfd3bab78e996582.png "\[
x_j \ne x_i
\]")
получаем необходимые нам выражения для преобразования формулы (3) в статье:
![\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/0056180d7fc636ae414a62f28b35674382.png "\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]")
![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/f/17fe02fee129bf3eaee485763a23741b82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}},\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}
\]")
(5)
![\[div\ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/4/b24c7e781ac67cb58988d432d2f726c282.png "\[div\ddot \vec u = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2
\]")
, откуда вытекает, что в случае, когда ![\[
div\dot \vec u = 0 \Rightarrow div\ddot \vec u = 0
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e410a03dddc93cf561f1b864ac169482.png "\[
div\dot \vec u = 0 \Rightarrow div\ddot \vec u = 0
\]")
.
задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной 
. 
задана только на кривой. Поэтому производные 
не определены и потому не могут входить ни в какие формулы.
. Попытаемся сосчитать производную 
по Вашему методу (я использую обозначения покороче). Пусть 
задаются «через посредство» лишь одной вспомогательной переменной 
.
. А по Вашeй формуле (1),
.
,
,
,
.
