Графическое построение биекции между прямой и плоскостью

[granit201z]

Из утверждения о том, что между точками прямой и точками плоскости может быть установлена биекция следует, что любую зависимость $(X_1, X_2)$ $\to$ $(Y_1, Y_2)$ можно визуализировать на плоском графике $XOY$. Но не совсем понимаю как это сделать.

Пока что в голове крутится только такая мысль, но это не совсем то (я бы сказал - совсем не то), т.к. в результате не устанавливается однозначная зависимость между произвольной точкой плоскости и произвольной точкой прямой, а только лишь между точкой окружности на плоскости и прямой.

Но я все-равно ее нарисую, т.к. это более наглядно позволит показать что именно мне в конечном итоге хочется получить.

Значит мысль следующая: установить вначале биекцию между точками проколотой окружности и точками параболы (при помощи лучей выходящих из центра окружности), а после между параболой и вещественной прямой (здесь однозначная зависимость, в принципе, очевидна). Соответственно точка прокола биективна значкам $+\infty$ и $-\infty$ расширенной вещественной прямой в зависимости от того с какой стороны мы к ней подобрались (последнее предложение, конечно, весьма размытое, ну да не беда - оно не так уж и важно).



Но это все равно не совсем то, чего бы мне хотелось получить.

Более именитые форумчане любезно подсказали, что непрерывная биекция между точками прямой и плоскости установлена быть не может. Но, мне кажется, это опять же не значит, что нет возможности и алгоритма построить плоскую визуализацию подобной многомерной (по крайней мере 2-х мерной) зависимости.

Если кто-то знает такой алгоритм - не могли бы Вы его нарисовать, ну или "обрисовать" в словах как его нарисовать (именно нарисовать, подобно тому как я нарисовал, а не просто вывести логически без графической эквиваленции рассуждений)

[arseniiv]

granit201z в сообщении #1298048 писал(а):

Но, мне кажется, это опять же не значит, что нет возможности и алгоритма построить плоскую визуализацию подобной многомерной (по крайней мере 2-х мерной) зависимости.

Просто не надо визуализировать в лоб. Сведение многомерных данных к чему-то, проще воспринимаемому человеком — это искусство, какого-то универсального метода тут нет (хотя есть много наработок для разных специфических случаев — но чтобы была одна книга с их перечислением, не знаю).

[Geen]

granit201z в сообщении #1298048 писал(а):

можно визуализировать на плоском графике

Что именно под этим понимается? Например, без всякого "многомерья", как "визуализировать" функцию Дирихле?

granit201z в сообщении #1298048 писал(а):

любую зависимость

А это что такое?

[granit201z]

Geen в сообщении #1298082 писал(а):

А это что такое?

Произвольные данные, между которыми установлена статистическая связь, которую требуется аппроксимировать

[Geen]

Тогда, как совет, не тратьте время на "визуализацию плоским графиком", ищите другие решения.

[DeBill]

granit201z в сообщении #1298048 писал(а):

Из утверждения о том, что между точками прямой и точками плоскости может быть установлена биекция

и топологической неэквивалентности прямой и плоскости следует: эта биекция совершенно ужасна с точки зрения непрерывности, и практической пользы от нее - абсолютно никакой.
В дискретном случае: конечно, я могу вместо таблицы чисел размера $m$ на $n$ выписать все числа в строку (длины $mn$) - но радости от этого - никакой. Да и общие соображения говорят: после преобразования данных с сохранением количества информации, в них содержащейся, это количество информации таки сохранится (это не противоречит наличию эффективно работающих архиваторов).

[tolstopuz]

Оставьте биекции в покое и почитайте что-нибудь про dimensionality reduction. Например, некоторые методы реализованы в scikit-learn:

http://scikit-learn.org/stable/modules/manifold.html