О пользе неравенств

[Rusit8800]

Задам вопрос не конкретно по этой теме, но на эту тему. Я заметил, что и на этом форуме, и на разных олимпиадах часто встречаются неравенства, и для отдельных лиц(например arqady) это стало любимой темой. Но мне интересно, есть ли какая-нибудь польза от подобных неравенств, кроме получения эстетического удовольствия? Насколько полезны в математике методы решения неравенств, которые предлагаются,скажем, участникам IMO? И есть ли во взрослой математике какие-нибудь универсальные (и, скорее всего, неэлементарные) способы решения подобных олимпиадных неравенств. Например, любую задачу олимпиадной школьной геометрии можно посчитать в комплексных числах, поэтому вся школьная геометрия сейчас неактуальна. Касается ли это олимпиадных неравенств, в частности тех, которые предлагает arqady?

[Cap]

Мне не понятен ваш вопрос, вы ищите определённую литературу по неравенстам или спрашиваете от нечего делать? Для определённых неравенств есть определённые методы, если вы заинтересованы в их решении, ознакомьтесь с различными методами.

[Rusit8800]

Мой вопрос вполне конкретен: мне интересно, есть ли какие-нибудь очень содержательные и неэлементарные теоремы или методы в теории неравенств, такие, что они могут применяться в сложных математических задачах. Например, неравенство Йенсена я не считаю особо содержательным, поскольку это все-лишь утверждение о том, что центр масс точек графика выпуклой функции лежит в надграфике, как и неравенство о средних степенных, поскольку его выполнение- все лишь следствие того, что произвольная средней степенной функции больше $0$. Вполне содержательным я считаю неравенство Мюрхеда, поскольку это довольно нетривиальный результат теории многочленов.
Решения же почти всех неравенств, которые встречаются на олимпиадах обычно ограничиваются элементарными методами, из-за чего решение становится совсем неочевидным. Здесь опять есть хорошая аналогия с планиметрией - доказательство теоремы Фейербаха с помощью инверсии совсем неочевидно, но если подключить современные аналитические методы: барицентрические координаты или даже декартовы на худой конец, то теорема Фейербаха будет просто следствием того, что система уравнений двух окружностей имеет единственное решение. В конце концов аналитическая геометрия находит применение не только в планиметрии, но в в многих других разделах математики - это делает её очень содержательной, а планиметрию - неактуальной. Таким образом мой вопрос заключается в том, есть ли аналог аналитической геометрии,только не для решения планиметрии, а для решения неравенств как в этом топике?

-- 16.03.2018, 19:04 --

podlyzasrancec в сообщении #1297793 писал(а):

Для определённых неравенств есть определённые методы, если вы заинтересованы в их решении, ознакомьтесь с различными методами.

Это кстати, опять же, говорит о том, что эти методы совершенно несодержательны, ведь их применение ограниченно, поэтому и методов много. А нужен один и очень содержательный.

-- 16.03.2018, 19:07 --

Еще одна аналогия:
Несодержательный метод - решать уравнение 3 степени с помощью подбора корней и делением уголком.
Содержательный метод - использовать формулу Кардано, что позволит найти и иррациональные корни, и комплексные.

[Cap]

Цитата:

Мой вопрос вполне конкретен: мне интересно, есть ли какие-нибудь очень содержательные и неэлементарные теоремы или методы в теории неравенств, такие, что они могут применяться в сложных математических задачах.

А конкретно вам что нужно? Я, например не знаю метод которым можно было решить любое неравенство, возможно это моя ограниченность, а возможно его просто нет.
Для цикличных и симметричных нераваенств трёх переменных можно использовать $uvw$, но если степень полионама слишком высокая или не фиксированная, то его преминение вызывает затруднение, a SOS тяжело использовать если неравенство слишком громоздкое.

Цитата:

Это кстати, опять же, говорит о том, что эти методы совершенно несодержательны, ведь их применение ограниченно, поэтому и методов много. А нужен один и очень содержательный.

Садержательность метод заключается в его применении, если вы не умеете использовать базовые методы, то и самые универсальные методы вам не помогут.

[Rusit8800]

podlyzasrancec в сообщении #1297830 писал(а):

Садержательность метод заключается в его применении, если вы не умеете использовать базовые методы, то и самые универсальные методы вам не помогут.

Не в этом дело. У меня вообще нет потребности решать неравенства. Прочитайте то, что я написал, еще раз.

[TR63]

podlyzasrancec в сообщении #1297418 писал(а):

Так это и не "сус", а SOS!

TR63 в сообщении #1272869 писал(а):

Я с этими "сус" не дружу

Здесь мы говорим о разном (мне не нравится именно "сус" как запись). Но это не столь важно. Я уже подзабыла об этом неравенстве. За ссылку спасибо. Информация интересная (та, что на иврите; другая не открывается).
Rusit8800, помнится, такой вопрос уже задавался arqady. Он ответил, что, если заведёте отдельную тему, то он охотно поделится своими мыслями на этот счёт.
Чтобы решить все неравенства одним методом, надо их все описать, как какой-то класс. А это, вряд ли возможно. Для некоторого класса у меня есть гипотетическая идея. Я её начала излагать на форуме ПЕН, потому что здесь она может быть сочтена бредовой. Но она мне помогает находить предварительно гипотетические решения. Затем я ищу стандартное решение.

[Rusit8800]

podlyzasrancec в сообщении #1297830 писал(а):

Садержательность метод заключается в его применении, если вы не умеете использовать базовые методы, то и самые универсальные методы вам не помогут.

Это неверно. Опять же, одно дело решать задачи по планиметрии изощренными синтетическими методами, по аналогии как вы решаете неравенства, другое - использовать мощные и содержательные методы - подключить аналитическую геометрию.
Или как искать экстремум функции $a\cos(8x)+b\sin(9x)-c\tg(90x)$ элементарными методами без взятия производной. Зачем мне эти элементарные методы, если можно просто приравнять производную нулю и получить ответ?

-- 16.03.2018, 20:32 --

TR63 в сообщении #1297835 писал(а):

надо их все описать, как какой-то класс. А это, вряд ли возможно.

Ну, я заметил, что подавляющее число неравенств - это сумма рациональных функций. Вообще я даже не говорю о каком-то самом универсальном методе решения. Таких методов в математике не существует, иначе она бы потеряла актуальность. Я говорю про какие-нибудь совсем неэлементарные и содержательные методы. Применение классических неравенств - уровень 5 класса по элементарности метода.

[Cap]

Я не понял что вам нужно, конкретного ничего не услышал. Скорее всего спрашиваете от нечего делать.

[Rusit8800]

podlyzasrancec в сообщении #1297843 писал(а):

Скорее всего спрашиваете от нечего делать.

Ну конечно,я просто человек, который целыми днями сидит за компьютером от нечего делать и я пишу сюда, чтобы хоть одна человеческая душа поговорила со мной.

[Cap]

Ты самовлюбленное ДЕРЬМО, которое считает что всё знает, но ни имеет ни каких представлений о том что говорит и зачем говорит, но к сожалению как бы ты ни старался показаться умнее ты всё равно останешься тупым ДЕРЬМОМ!

[pogulyat_vyshel]

Rusit8800 в сообщении #1297820 писал(а):

Например, неравенство Йенсена я не считаю особо содержательным,

Не хило! Одна из центральных концепций всего анализа. Вам, дорогой мой, словосочетание "я считаю" надо забыть

[Pphantom]

Выделено из «Неравенство 17.»

Rusit8800, предупреждение за оффтопик.

podlyzasrancec, предупреждение за хамство.

[Евгений Машеров]

0. (поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты к-на Очевидность):
Олимпиады есть род спорта. Поэтому от решения олимпиадных задач можно получать "эстетическое удовольствие", можно "счастье победы", можно развить в юности мозг или затормозить в старости деградацию. Но не извлечь прямую пользу.
Претензия же, что "решать надо только элементарными методами, оттого неочевидно", сродни ламентациям, что на Эверест отчего-то ногами лезут, хотя можно вертолёт вызвать и прямо на вершину.
1. Вне спорта неравенства это инструмент, и часто весьма полезный. Тем, что позволяют просто получить результат. Для чего, впрочем, помимо знания неравенств, нужна ещё и накачанная олимпиадами "мозговая мышца".
2. Утверждение

Rusit8800 в сообщении #1297820 писал(а):

Например, неравенство Йенсена я не считаю особо содержательным, поскольку это все-лишь утверждение о том, что центр масс точек графика выпуклой функции лежит в надграфике, как и неравенство о средних степенных, поскольку его выполнение- все лишь следствие того, что произвольная средней степенной функции больше $0$

(произвольная=производная?)
не доказывает ненужность неравенств, поскольку состоит в том, что одни неравенства выводимы из других ("больше 0" это неравенство, фуражка что-то слетает...)
3. Есть довольно крупный раздел оптимизации, "геометрическое программирование", построенный на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим. Думается, найдутся и иные примеры.

[Rusit8800]

Я похоже нашел книгу, в которой теория неравенств излагается с помощью "взрослого" математического аппарата - Г. Харди, Дж. Литлвуда и Г. Полиа "Неравенства".

-- 17.03.2018, 10:16 --

Евгений Машеров в сообщении #1297900 писал(а):

Олимпиады есть род спорта. Поэтому от решения олимпиадных задач можно получать "эстетическое удовольствие", можно "счастье победы", можно развить в юности мозг или затормозить в старости деградацию. Но не извлечь прямую пользу.

Не совсем соглашусь. Например олимпиадные задачи Всесоюзной математической олимпиады и Московской математической олимпиады связаны с взрослой математикой, а потому очень содержательны.Это я считаю пользой. А в IMO встречается довольно много задач на функциональные уравнения и неравенства, к которым можно подготовиться как ЕГЭ(правда намного сложнее).

[Cap]

Нет просто Rusit8800 не мог сказать что конкретно ему нужно. Есть куча методов для доказательств неравенств, от классических AM-GM, Гольдера, Шура
и Йенсена(которое Rusit8800 считает несодержателтным), и до современных SOS,$uvw$,BW, также можно применять анализ, а ещё куча методов о которых я не имею ни каких представлений, каждые применимы в определённых случаях, например $uvw$,SOS и Шура приеменимы в основном в неравенстах трёх переменных. Но универсальных методов нет, так как каким бы "универсальным" он не был, его примениние ограниченно.
И кстати что сделал kp9r4d?