Неборелевское выпуклое множество.

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

объединение не более чем континуального семейства ... континуальных множеств ... континуально

Всё. Непонимание устранил. Это ж $\mathbb{R}^2$

[zoo]

Профессор Снэйп писал(а):

Narn писал(а):

А так нельзя: из ребра любого многоугольника удаляем неизмеримое подмножество?

То, что останется, не будет выпуклым!

А вот зато с границы окружности можно удалять всё, что угодно. Так что предлагается такое решение. Пусть

$$ C = \{ r \in \mathbb{R}^2 : \| r \| < 1 \} $$

и

$$ \Gamma = \{ r \in \mathbb{R}^2 : \| r \| = 1 \} $$

Для любого $X \subseteq \Gamma$ множество $C \cup X$ выпукло. А так как существует $2^c$ возможностей для $X$ и всего континуум борелевских множеств, то для некоторого $X \subseteq \Gamma$ множество $C \cup X$ не будет борелевским.

я вот что не понял: граница окружности это множество меры нуль. Разве подмножество множества меры нуль может быть неизмеримым?

[ewert]

zoo писал(а):

я вот что не понял: граница окружности это множество меры нуль. Разве подмножество множества меры нуль может быть неизмеримым?

для нуль-полной меры не может. Мера Лебега нуль-полна, Бореля -- нет.

Правда, мне уже трудно уследить, где какая мера, и в любом случае к выпуклости это отношения не имеет.

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

Правда, мне уже трудно уследить, где какая мера...

Тут в теме только о борелевской мере разговор. Лебеговская до последнего сообщения даже не упоминалась. Так что не понимаю, за чем ewert следить пытается.

P. S. Кстати, а бывает выпуклое множество, не измеримое по Лебегу?

[Narn]

zoo писал(а):

я вот что не понял: граница окружности это множество меры нуль. Разве подмножество множества меры нуль может быть неизмеримым?

Речь о неизмеримом подмножестве окружности. Ну, например, берем $[0,1]$, гомеоморфно отображаем на верхнюю полуокружность и выбрасываем образ неизмеримого подмножества $[0,1]$. Разумеется, мера этого множества как подмножества плоскости равна 0.

[worm2]

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, а бывает выпуклое множество, не измеримое по Лебегу?

Наверное, даже по Жордану не бывает.

[AGu]

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, а бывает выпуклое множество, не измеримое по Лебегу?

Предлагаю набросок доказательства для любого ${\mathbb R}^n$. (Сильно не задумывался, так что мог наглючить.)

Пусть $C$ -- выпуклое подмножество ${\mathbb R}^n$. Достаточно показать, что $\mu(\partial C)=0$, где $\mu$ -- мера Лебега и $\partial C$ -- (топологическая) граница множества $C$. Для любых $x\in\partial C$ и $\varepsilon > 0$ опорная гиперплоскость к $C$ в точке $x$ делит шар $B(x,\varepsilon)$ на две равновеликие части, внутренность одной из которых лежит вне замыкания $C$ и, в частности, вне $\partial C$. Следовательно,

$$d_\varepsilon(x):=\frac{\mu\bigl(\partial C\cap B(x,\varepsilon)\bigr)}{\mu\bigl(B(x,\varepsilon)\bigr)}\leqslant\frac12.$$

С другой стороны, по теореме Лебега о плотности (см. http://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue's_density_theorem) $\lim\limits_{\varepsilon\to0}d_\varepsilon(x)=1$ для $\mu$-почти всех $x\in\partial C$.