2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Неравенство 19.
Сообщение19.01.2018, 14:35 


03/03/12
1170
Для неотрицательных $(a;b;c)$, никакие два из которых не равны нулю, докажите неравенство:

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac1 2\sqrt{\frac{11(a^2+b^2+c^2)}{ab+ac+bc}+14}-1$$

В "Олимпиадном разделе" была предложена идея:

$e_1=a+b+c$

$e_2=ab+bc+ca$

$e_3=abc$

$$12e_1^2e_2^3-(19e_1^4+32e_1e_3)e_2^2+(4e_1^6+38e_1^3e_3+24e_3^2)e_2-11e_1^2e_3^2\ge0$$

Древние зубры забраковали эту идею, мол, неизвестно, что с этим делать дальше. А мне нравится эта идея, т.к. дальше всё решается полу устно (на пальцах).

Найдите простое решение исходного неравенства с использованием этой идеи (преобразованного неравенства).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 19.
Сообщение21.01.2018, 11:01 


03/03/12
1170
Моё решение.

Ввиду наличия гомогенизации можем считать, что

$e_1=a+b+c=1$

$x=e_2$

$y=e_3$

Тогда преобразованное неравенство, а, значит и исходное, перепишем в новых переменных:

$$\{(11-24x)y^2-(38x-32x^2)y\}-(12x^3-19x^2+4x)\le0$$

Получили верное неравенство, т.к. все выражения в круглых скобках положительны, а в фигурных отрицательно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 19.
Сообщение21.01.2018, 13:33 
Аватара пользователя


26/02/14
150
so dna
TR63 в сообщении #1286078 писал(а):
все выражения в круглых скобках положительны
Ну пусть $a=b=\frac{1}{4}$, $c=\frac{1}{2}$,
тогда $x=\frac{5}{16}$ и $(12x^3-19x^2+4x)=-\frac{245}{1024}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 19.
Сообщение21.01.2018, 14:37 


03/03/12
1170
Я рассматривала область, в которой круглые скобки положительны:

$3\sqrt[3]{(abc)^2}\le x=ab+bc+ca<a+b+c=1$

$x<\frac1 4$

Дальше, как Вы правильно заметили, приходится сделать трюк: $x=\frac1 4+a_1$. Получим неравенство, с которым Вольфрам справляется:

$12a_1^3-(32y+10)a_1^2+(24y^2+22y-3.25)a_1+(7.5y-5y^2)\ge0$

Правда, это не полу устное решение, но решение (здесь сразу видно, что надо сделать трюк).
Остаётся подумать, как это делает Вольфрам (идея у меня есть, но она длинная)
(Думаю, что $\frac1 4$ всплыла не совсем случайно; такое встречалось ранее.)
Rak so dna, спасибо (Ваше замечание существенно.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 19.
Сообщение23.01.2018, 15:10 


03/03/12
1170
Использование результатов Вольфрама в данном случае не обосновано, т.к. переменные зависимы. Но в качестве гипотезы для многочленов специального вида можно. Это для многочленов, полученных преобразованиями однородных перестановочных функций, для которых неравенство верно при $a=b=c$ и $a=b$. Т.е. тогда переменные гипотетически можно рассматривать как независимые. Но это гипотеза, на которую контрпримеры мне не встречались.
Что делать дальше с полученным многочленом не знаю.
Вот пример, иллюстрирующий гипотезу:

$(z^4-z^3+z^2-3z+2)y^4-(2z^4-z^2+z)y+z^4+z^3\ge0$ (?)
$1>(z;y)>0$

Вольфрам показывает, что неравенство верно. Но если переменные зависимы, например,

$a+b+c=1$

$y=ab+(a+b)(1-a-b)$

$z=ab(1-a-b)$

то неравенство может быть неверно при $a=b$. Но может ли этот многочлен быть получен из однородной перестановочной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 19.
Сообщение27.01.2018, 10:16 


03/03/12
1170
Появилась необычная идея, как завершить доказательство исходного неравенства для оставшейся области (возможно корректная).
Требуется доказать неравенство:

TR63 в сообщении #1286078 писал(а):
в новых переменных:

$$\{(11-24x)y^2-(38x-32x^2)y\}-(12x^3-19x^2+4x)\le0$$



$a\ge b\ge c$

$a+b+c=1$

$x=ab+bc+ca$

$y=abc$

$0\le y\le\frac{1}{27}$

$\frac1  4\le x\le\frac1 3$

Т.к. переменные $(x;y)$ зависимые, то известные свойства "в лоб" применять нельзя. Но можно считать, исходя из количества перемен знака, что количество положительных корней $K(D^+)\le2$? Далее, т.к. $f(y=0)\ge0$, $f(y=\frac{1}{27})\le0$, то $K(D^+)\le1$? Этого для исследования достаточно, если переменные независимы. У нас зависимые. Тогда допустим, что существует $\exis y_1$, для которого $f(y_1)>0$. Тогда для всех $y>y_1$ будет $f(y)>0$. Значит и для $y(a_1;b_1=a_1;c_1)>y_1(a_1;b_1c_1)$ будет $f(y)>0$. Если доказать исходное неравенство при $b=a$, то получим противоречие. Следовательно такого $y_1$ не существует и $f(y)\le0$. А, как решать неравенство от одной переменной, известно.

Замечание: можно было сразу сделать замену $x=y+\alpha$. Получится многочлен с одной переменой знака плюс аналогичные рассуждения, если они корректны.

Интересно, в таком классе функций эта идея всегда будет срабатывать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неравенство 19.
Сообщение14.03.2018, 16:54 
Аватара пользователя


14/03/18
51
$uvw$ метод эффективен в таких случаях, это линейная функция $w^3$, поэтому достаточно проверить случаи когда $b=c=1$ и $a=0$.
topic53377.html

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group