Метод uvw

[M.Konst]

Узнал, что сравнительно недавно появился так называемый метод uvw, суть которого сводится к замене переменных, а далее к рассмотрению частных случаев. Он меня заинтриговал, но у меня не получилось найти информацию по нему в книгах (что неудивительно в связи с его новизной) и в интернете (за исключением небольшой статьи на английском, которая хоть и была полезной, но с учетом моего знания английского и качества переводчиков, не была способна ответить на все мои вопросы). В связи с этим прошу ответить на следующие вопросы:
1. Как я понял, мы фиксируем две переменных из u,v,w и двигаем третью. Почему (хотя это немного понятно) и до каких пор (а это уже менее понятно) мы можем так делать?
2. Какую переменную двигать удобнее всего? И можно ли всегда обходиться только одной (т.е., например, я вижу, что двигать w у меня не получится, тогда и вообще двигать ничего буду, так как это бессмысленно)
3. Может ли так оказаться, что простое неравенство этим методом вообще не решается?
4. Как быстро доказать, что максимум/минимум в рамках задачи достигается при конкретном значении одной из переменных? (например, если мне потребуется написать полное решение олимпиадной задачи)

[arqady]

M.Konst в сообщении #522386 писал(а):

1. Как я понял, мы фиксируем две переменных из u,v,w и двигаем третью. Почему (хотя это немного понятно) и до каких пор (а это уже менее понятно) мы можем так делать?

Пусть $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$, где $v^2$ может быть отрицательным, и $abc=w^3$.
Тогда $a$, $b$ и $c$ - корни уравнения $f(x)=0$, где
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3ux^2+3v^2x-w^3$.
Поэтому уравнение $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ имеет три действительных корня.
Если $u$ и $v$ фиксированны, а $w^3$ меняется, то для того, чтобы уравнение $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ продолжало иметь три действительных корня, $w^3$ должно меняться только между максималным и минимальным значением функции $g(x)=x^3-3ux^2+3v^2x$.
Легко видеть, что эти экстремальные значеня $w^3$ соответствуют случаю, когда два корня уравнения $f(x)=0$ совпадают.
Эти простые соображения позволяют иногда свести доказательство неравенство к прстой проверке.
Например, если вы доказываете, что $F(a,b,c)\geq0$, где $F$ - симметрический однородный многочлен, то $F(a,b,c)=G(u,v^2,w^3)=h(w^3)$.
Если $h$ монотонна или вогнута, то $F$ получит своё наименьшее значение на границе значений $w^3$, то есть, когда две переменные совпадают.
Если переменные неотрицательны, то нужно проверить еще сдучай $w^3=0$.
Поскольку исходное неравенство однородно, то доказательство сводится к проверке неравенства от одного переменного.
При неотрицательных переменных с $u$ и $v^2$ проходит аналогичное рассуждение.
При действительных переменных нужно считаться с возможностью ухода на бесконечность и это неудобно.

M.Konst в сообщении #522386 писал(а):

2. Какую переменную двигать удобнее всего? И можно ли всегда обходиться только одной (т.е., например, я вижу, что двигать w у меня не получится, тогда и вообще двигать ничего буду, так как это бессмысленно)

$w^3$ лучше, так как степень $h$ меньше.
Бывают такие ситуации, что вариации $w^3$ не приводят к успеху, а вариации $u$ или $v^2$ помогают.

M.Konst в сообщении #522386 писал(а):

3. Может ли так оказаться, что простое неравенство этим методом вообще не решается?

Конечно! Можно увеличить число переменных, хотя этот метод иногда работает (с гораздо меньшим успехом, понятно) и для большего числа переменных.
Для доказательства циклических однородных неравенств иногда помогают удачно выбранные обозначения, но как правило это тупик, поскольку степень соответствующего симметрического неравенства будет слишком высокой и вычисления слишком громоздкими.

M.Konst в сообщении #522386 писал(а):

4. Как быстро доказать, что максимум/минимум в рамках задачи достигается при конкретном значении одной из переменных? (например, если мне потребуется написать полное решение олимпиадной задачи)

Это, как правило, не занимает много времени и места.
Проблема в другом. Этот метод часто раздражает тем, что убивает сразу некоторые задачи, реализующие какую-нибудь красивую, идею. Типа тригонометрии, которая убивает иногда красивые геометрические задачи.
Применение метода предполагает составление таблицы тождеств.
Например, $(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2=$
$=\sum\limits_{sym}(a^4b^2-a^4bc-a^3b^3+a^3b^2c-a^2b^2c^2)=$
$=27(3u^2v^4-4v^6-4u^3w^3+6uv^2w^3-w^6)$
или $(a^2+ab+b^2)(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)=27(3u^2v^4-u^3w^3-v^6)$
Проверьте!

[M.Konst]

Спасибо, arqady, за подробное объяснение! В проверке тождеств меня хватило лишь на первое (с учетом того, что сошлось не с первой попытки), видимо, при использовании метода легко допустить ошибку.
Удобно ли перед непосредственной работой с $uvw$ применять какие-либо неравенства? Или, скажем, уже переведя все на язык $uvw$ применить неравенство, связанное непосредственно с ними?
Если я встретился с однородным неравенством на 4 переменных, например, $a,b,c,d$, то я ведь могу сказать, что $d=1$ и тогда будет ли $uvw$ использоваться с тем же успехом?
Понятно, что эти вопросы менее однозначные, но, думаю, при наличии опыта применения $uvw$ можно что-то по этому поводу сказать.

[arqady]

M.Konst в сообщении #523993 писал(а):

В проверке тождеств меня хватило лишь на первое (с учетом того, что сошлось не с первой попытки), видимо, при использовании метода легко допустить ошибку.

Мне кажется Вы меня не совсем правильно поняли. Вы заготавливаете эти тождества заранее, а на олимпиаде убиваете проверяющих верными высказываниями (типа: легко проверить, что...). Пусть сами и проверяют!
Есть тождества настолько частотные (вроде тех, которые я написал), что выучиваются сами собой.
Часто нужно знать только какой-то его важный кусок.
Например, $a^6+b^6+c^6=729u^6-1458u^4v^2+729u^2v^4-54v^6+162uv^2w^3-108u^3w^3+3w^6$,
из которого часто достаточно только знать, что $a^6+b^6+c^6=3w^6+P(u,v^2)w^3+Q(u,v^2)$,
а это легко запоминается.
Ведь если нам нужно, например, доказать, что $f(w^3)\leq0$, где $f(w^3)=w^6+P(u,v^2)w^3+Q(u,v^2)$,
то всё! Начинаем осуществлять проверки. Ведь $f$ выпукла, а мы ищем её максимум.

M.Konst в сообщении #523993 писал(а):

Удобно ли перед непосредственной работой с $uvw$ применять какие-либо неравенства? Или, скажем, уже переведя все на язык $uvw$ применить неравенство, связанное непосредственно с ними?

В зависимости от ситуации. Можно иногда и так, а можно и иначе.

M.Konst в сообщении #523993 писал(а):

Если я встретился с однородным неравенством на 4 переменных, например, $a,b,c,d$, то я ведь могу сказать, что $d=1$ и тогда будет ли $uvw$ использоваться с тем же успехом?

Там надо быть осторожным, если переменные не обязательно неотрицательны, а так - конечно же! Только неравенство получается неоднородным и если удаётся применить $uvw$, то вообще от двух переменных. Иногда это работает.

[M.Konst]

arqady в сообщении #524055 писал(а):

Мне кажется Вы меня не совсем правильно поняли. Вы заготавливаете эти тождества заранее, а на олимпиаде убиваете проверяющих верными высказываниями (типа: легко проверить, что...). Пусть сами и проверяют!
Есть тождества настолько частотные (вроде тех, которые я написал), что выучиваются сами собой.
Часто нужно знать только какой-то его важный кусок.
Например, $a^6+b^6+c^6=729u^6-1458u^4v^2+729u^2v^4-54v^6+162uv^2w^3-108u^3w^3+3w^6$,
из которого часто достаточно только знать, что $a^6+b^6+c^6=3w^6+P(u,v^2)w^3+Q(u,v^2)$,
а это легко запоминается.
Ведь если нам нужно, например, доказать, что $f(w^3)\leq0$, где $f(w^3)=w^6+P(u,v^2)w^3+Q(u,v^2)$,
то всё! Начинаем осуществлять проверки. Ведь $f$ выпукла, а мы ищем её максимум.

Теперь понимаю. Выглядит так, что метод выходит довольно мощным в случаях, когда он применим.

arqady в сообщении #523942 писал(а):

Тогда $a$, $b$ и $c$ - корни уравнения $f(x)=0$, где
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3ux^2+3v^2x-w^3$.
Поэтому уравнение $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ имеет три действительных корня.
Если $u$ и $v$ фиксированны, а $w^3$ меняется, то для того, чтобы уравнение $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ продолжало иметь три действительных корня, $w^3$ должно меняться только между максималным и минимальным значением функции $g(x)=x^3-3ux^2+3v^2x$.
Легко видеть, что эти экстремальные значеня $w^3$ соответствуют случаю, когда два корня уравнения $f(x)=0$ совпадают.

Действительно легко получается, но я немного сомневаюсь в своих рассуждениях. Вот как мне кажется: необходимо и достаточно, чтобы уравнение $f'(x)=g'(x)=3x^2-6ux+3v^2$ имело действительные корни (которые легко считаются - $u\pm \sqrt{u^2-v^2}$) и значение функции $f$ в меньшем корне было неотрицательно, а значение в большем корне неположительно. То есть $f(u+ \sqrt{u^2-v^2})=g(u+\sqrt{u^2-v^2})-w^3\le0$ и $f(u-\sqrt{u^2-v^2})=g(u-\sqrt{u^2-v^2})-w^3\ge0$. Таким образом, $g(u+\sqrt{u^2-v^2})\le w^3 \le g(u-\sqrt{u^2-v^2})$. Если же $w^3=g(u\pm \sqrt{u^2-v^2})$, то получается, что $f(u\pm \sqrt{u^2-v^2})=0$, а это как раз и означает, что 2 корня совпали. Все верно?

arqady в сообщении #523942 писал(а):

Если переменные неотрицательны, то нужно проверить еще случай $w^3=0$.

Вот это мне уже не понятно. В чем смысл этой проверки, если $0$ будет промежуточным значением, а не крайним?

[sergei1961]

Спасибо за пояснения. А где-то есть текст о методе?

[arqady]

M.Konst в сообщении #524511 писал(а):

Действительно легко получается, но я немного сомневаюсь в своих рассуждениях. Вот как мне кажется: необходимо и достаточно, чтобы уравнение $f'(x)=g'(x)=3x^2-6ux+3v^2$ имело действительные корни (которые легко считаются - $u\pm \sqrt{u^2-v^2}$) и значение функции $f$ в меньшем корне было неотрицательно, а значение в большем корне неположительно. То есть $f(u+ \sqrt{u^2-v^2})=g(u+\sqrt{u^2-v^2})-w^3\le0$ и $f(u-\sqrt{u^2-v^2})=g(u-\sqrt{u^2-v^2})-w^3\ge0$. Таким образом, $g(u+\sqrt{u^2-v^2})\le w^3 \le g(u-\sqrt{u^2-v^2})$. Если же $w^3=g(u\pm \sqrt{u^2-v^2})$, то получается, что $f(u\pm \sqrt{u^2-v^2})=0$, а это как раз и означает, что 2 корня совпали. Все верно?

Но ведь это очевидно и без всяких вычислений. Нарисуйте кубическую параболу $y=f(x)$ и прямую $y=w^3$ и меняйте $w^3$ так, чтобы у этих графиков были бы три (или в крайнем случае одна или две) точки пересечения.

M.Konst в сообщении #524511 писал(а):

arqady в сообщении #523942 писал(а):

Если переменные неотрицательны, то нужно проверить еще случай $w^3=0$.

Вот это мне уже не понятно. В чем смысл этой проверки, если $0$ будет промежуточным значением, а не крайним?

Ведь переменные неотрицательны и $0$ становится крайним значением для $w^3$. Поэтому нужно ещё проверить, что происходит, когда одна из переменных равна нулю.

sergei1961 в сообщении #524521 писал(а):

А где-то есть текст о методе?

Есть на английском:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 5&t=278791
и на иврите:
http://taharut.org/articles/uvw.pdf

[M.Konst]

arqady в сообщении #524554 писал(а):

Но ведь это очевидно и без всяких вычислений. Нарисуйте кубическую параболу $y=f(x)$ и прямую $y=w^3$ и меняйте $w^3$ так, чтобы у этих графиков были бы три (или в крайнем случае одна или две) точки пересечения.

И правда

arqady в сообщении #524554 писал(а):

Ведь переменные неотрицательны и $0$ становится крайним значением для $w^3$. Поэтому нужно ещё проверить, что происходит, когда одна из переменных равна нулю.

Ой, извиняюсь, я вместо "неотрицательные" прочитал, что это случай, когда они могут быть отрицательными

[sergei1961]

Интересно. Вышла такая милая книжечка:
Zdravko Cvetkovski. Inequalities. (Theorems, Techniques and Selected Problems).
Шпрингер, 2012.
Там просто содран на целую главу этот метод со всеми примерами, и без всяких ссылок. И название такое скромное.
Кому то из авторов обидно?