Больше миллиона, меньше миллиона

[Ktina]

У каждого натурального числа от $n+1$ до $n+1000$ выписывают все делители, не превосходящие 1000. Докажите, что для бесконечно многих натуральных $n$ сумма всех выписанных чисел больше миллиона, и для бесконечно многих - меньше.

[mihaild]

Если $n = k + 1000!$, то для любого $a$ у $n + a$ и $k + a$ одни и те же делители, не превосходящие $1000$. Т.е. если существует хотя бы одно число, для которого эта сумма меньше миллиона, то таких чисел бесконечно; аналогично для больше миллиона. То, что такие существуют, проверяется численно.

[Ktina]

mihaild в сообщении #1297365 писал(а):

То, что такие существуют, проверяется численно.

Как-то долго в уме численно проверять. А правила олимпиады запрещают пользоваться вычислительной техникой.

[waxtep]

Ktina в сообщении #1297392 писал(а):

Как-то долго в уме численно проверять.

для "больше миллиона" можно взять любое $n=x\cdot1000!-1$, следуя рассуждениям mihaild. А вот для "меньше миллиона", хм-хм...

-- 14.03.2018, 20:49 --

...а для "меньше миллиона" любое $n=x\cdot(1000!)^2$

[Ktina]

mihaild
waxtep
Большое спасибо!

[Shadow]

Сумма меняется от

$\displaystyle\sum\limits_{d=1}^{1000} d\cdot\left\lfloor{\dfrac{1000}{d}}\right\rfloor=823081 $ при $n\equiv 0 \pmod {\operatorname{lcm}(1\cdots 1000)}$

до

$\displaystyle\sum\limits_{d=1}^{1000} d\cdot\left\lceil{\dfrac{1000}{d}}\right\rceil=1321241 $ при $n\equiv -1 \pmod {\operatorname{lcm}(1\cdots 1000)}$

Каждый делитель $d$ встречается $\left\lceil{\dfrac{1000}{d}}\right\rceil$ раз, если $(n+1)\equiv 0 \pmod d$ или $(n+1) \pmod d>-1000 \pmod d$