2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Больше миллиона, меньше миллиона
Сообщение14.03.2018, 15:56 
Аватара пользователя


01/12/11
8355
У каждого натурального числа от $n+1$ до $n+1000$ выписывают все делители, не превосходящие 1000. Докажите, что для бесконечно многих натуральных $n$ сумма всех выписанных чисел больше миллиона, и для бесконечно многих - меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше миллиона, меньше миллиона
Сообщение14.03.2018, 16:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3055
Москва
Если $n = k + 1000!$, то для любого $a$ у $n + a$ и $k + a$ одни и те же делители, не превосходящие $1000$. Т.е. если существует хотя бы одно число, для которого эта сумма меньше миллиона, то таких чисел бесконечно; аналогично для больше миллиона. То, что такие существуют, проверяется численно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше миллиона, меньше миллиона
Сообщение14.03.2018, 17:47 
Аватара пользователя


01/12/11
8355
mihaild в сообщении #1297365 писал(а):
То, что такие существуют, проверяется численно.

Как-то долго в уме численно проверять. А правила олимпиады запрещают пользоваться вычислительной техникой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше миллиона, меньше миллиона
Сообщение14.03.2018, 20:34 
Аватара пользователя


07/01/16
772
Аязьма
Ktina в сообщении #1297392 писал(а):
Как-то долго в уме численно проверять.
для "больше миллиона" можно взять любое $n=x\cdot1000!-1$, следуя рассуждениям mihaild. А вот для "меньше миллиона", хм-хм...

-- 14.03.2018, 20:49 --

...а для "меньше миллиона" любое $n=x\cdot(1000!)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше миллиона, меньше миллиона
Сообщение14.03.2018, 23:29 
Аватара пользователя


01/12/11
8355
mihaild
waxtep
Большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Больше миллиона, меньше миллиона
Сообщение15.03.2018, 09:53 


26/08/11
1794
Сумма меняется от

$\displaystyle\sum\limits_{d=1}^{1000} d\cdot\left\lfloor{\dfrac{1000}{d}}\right\rfloor=823081
$ при $n\equiv 0 \pmod {\operatorname{lcm}(1\cdots 1000)}$

до

$\displaystyle\sum\limits_{d=1}^{1000} d\cdot\left\lceil{\dfrac{1000}{d}}\right\rceil=1321241
$ при $n\equiv -1 \pmod {\operatorname{lcm}(1\cdots 1000)}$

Каждый делитель $d$ встречается $\left\lceil{\dfrac{1000}{d}}\right\rceil$ раз, если $(n+1)\equiv 0 \pmod d$ или $(n+1) \pmod d>-1000 \pmod d$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group