2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равенство сумм геометрических прогрессий
Сообщение10.03.2018, 14:51 
Аватара пользователя


07/01/16
894
Аязьма
Найти простые $p>q$ и натуральные $m>n>1$ такие, что $S_n(p)=S_m(q)$, где $S_n(p)=\frac{p^n-1}{p-1}$
Взялся доказывать несуществование, но, наткнулся на контрпример $1+5+25=1+2+4+8+16$
Вопрос: можно ли найти другие решения серийно, либо эффективно сузить пространство поиска при переборе? Просьба подтолкнуть в нужную сторону.

(источник и попытки решения)

Задача придумалась глядя на формулу для степени простого числа в каноническом разложении факториала; $p^n!$ делится на $p^{S_n(p)}$, но не на бОльшую степень $p$.
Видно, что $S_{n-1}(p)$ должно делиться на $q$ и, точнее, $S_{n-1}(p)=q(aq+1)$ и это можно развивать дальше и переформулировать задачу в операторном виде, $T_p^n(1)=T_q^m(1)$, где $T_p(x)=px+1$, но непонятно, что с этим дальше делать.
Далее, для конкретных пар $(p,q)$ можно доказывать отсутствие решений сравнения по модулю, например, $(3,2)$ не складывается по модулю $8$, а $(7,5)$ - по модулю $25$. Но у меня не получается увидеть здесь систему, даже вопрос о наличии решений $5^n+3=2^{m+2}$, кроме $n=3,m=5$ ставит в тупик. Очевидно, не хватает культуры, пытаюсь наращивать по Бухштабу, но пока нахожусь на ранних страницах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство сумм геометрических прогрессий
Сообщение11.03.2018, 14:50 
Заслуженный участник


08/04/08
8504

(Оффтоп)

waxtep в сообщении #1296446 писал(а):
даже вопрос о наличии решений $5^n+3=2^{m+2}$, кроме $n=3,m=5$ ставит в тупик.
Например, эта тема topic64538.html и далее по ссылкам - таких тем было очень много и такие уравнения в каждом конкретном случае нетрудные.


waxtep в сообщении #1296446 писал(а):
$1+5+25=1+2+4+8+16$
$$8191 = \frac{90^3-1}{90-1}= \frac{2^{13}-1}{2-1}$$
Неважно, что основания не простые.

waxtep в сообщении #1296446 писал(а):
Вопрос: можно ли найти другие решения серийно, либо эффективно сузить пространство поиска при переборе?
Вряд ли это легкое уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство сумм геометрических прогрессий
Сообщение11.03.2018, 15:24 
Аватара пользователя


07/01/16
894
Аязьма
Sonic86, спасибо! Интересно, можно ли указать ограничения на показатели, кроме понятных $n\ge3,m-n\ge2$ ? (верно для простых $(p,q)$, но не факт для составных)

-- 11.03.2018, 16:11 --

Простота $p,q$ все таки заметно упрощает задачу: кажется, нетрудно доказать, что для $n=3$ решение $p=5,q=2,m=5$ единственно (иначе бы $p$ и $p+1$ слишком сильно отличались друг от друга)

-- 11.03.2018, 16:14 --

И поэтому, кстати, $m-n$ не может быть чересчур велико; возможно, $m-n=2$ единственный вариант

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство сумм геометрических прогрессий
Сообщение11.03.2018, 16:34 
Аватара пользователя


07/01/16
894
Аязьма
Черт побери, осмелюсь заявить, что это глобально единственное решение! (в простых) Клянусь своей треуголкой :-)

-- 11.03.2018, 16:45 --

Если есть еще решения, должно быть $m=2n-1$, поскольку $p\approx q^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group