2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Равенство сумм геометрических прогрессий
Сообщение10.03.2018, 14:51 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Найти простые $p>q$ и натуральные $m>n>1$ такие, что $S_n(p)=S_m(q)$, где $S_n(p)=\frac{p^n-1}{p-1}$
Взялся доказывать несуществование, но, наткнулся на контрпример $1+5+25=1+2+4+8+16$
Вопрос: можно ли найти другие решения серийно, либо эффективно сузить пространство поиска при переборе? Просьба подтолкнуть в нужную сторону.

(источник и попытки решения)

Задача придумалась глядя на формулу для степени простого числа в каноническом разложении факториала; $p^n!$ делится на $p^{S_n(p)}$, но не на бОльшую степень $p$.
Видно, что $S_{n-1}(p)$ должно делиться на $q$ и, точнее, $S_{n-1}(p)=q(aq+1)$ и это можно развивать дальше и переформулировать задачу в операторном виде, $T_p^n(1)=T_q^m(1)$, где $T_p(x)=px+1$, но непонятно, что с этим дальше делать.
Далее, для конкретных пар $(p,q)$ можно доказывать отсутствие решений сравнения по модулю, например, $(3,2)$ не складывается по модулю $8$, а $(7,5)$ - по модулю $25$. Но у меня не получается увидеть здесь систему, даже вопрос о наличии решений $5^n+3=2^{m+2}$, кроме $n=3,m=5$ ставит в тупик. Очевидно, не хватает культуры, пытаюсь наращивать по Бухштабу, но пока нахожусь на ранних страницах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство сумм геометрических прогрессий
Сообщение11.03.2018, 14:50 
Заслуженный участник


08/04/08
8556

(Оффтоп)

waxtep в сообщении #1296446 писал(а):
даже вопрос о наличии решений $5^n+3=2^{m+2}$, кроме $n=3,m=5$ ставит в тупик.
Например, эта тема topic64538.html и далее по ссылкам - таких тем было очень много и такие уравнения в каждом конкретном случае нетрудные.


waxtep в сообщении #1296446 писал(а):
$1+5+25=1+2+4+8+16$
$$8191 = \frac{90^3-1}{90-1}= \frac{2^{13}-1}{2-1}$$
Неважно, что основания не простые.

waxtep в сообщении #1296446 писал(а):
Вопрос: можно ли найти другие решения серийно, либо эффективно сузить пространство поиска при переборе?
Вряд ли это легкое уравнение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство сумм геометрических прогрессий
Сообщение11.03.2018, 15:24 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Sonic86, спасибо! Интересно, можно ли указать ограничения на показатели, кроме понятных $n\ge3,m-n\ge2$ ? (верно для простых $(p,q)$, но не факт для составных)

-- 11.03.2018, 16:11 --

Простота $p,q$ все таки заметно упрощает задачу: кажется, нетрудно доказать, что для $n=3$ решение $p=5,q=2,m=5$ единственно (иначе бы $p$ и $p+1$ слишком сильно отличались друг от друга)

-- 11.03.2018, 16:14 --

И поэтому, кстати, $m-n$ не может быть чересчур велико; возможно, $m-n=2$ единственный вариант

 Профиль  
                  
 
 Re: Равенство сумм геометрических прогрессий
Сообщение11.03.2018, 16:34 
Аватара пользователя


07/01/16
1426
Аязьма
Черт побери, осмелюсь заявить, что это глобально единственное решение! (в простых) Клянусь своей треуголкой :-)

-- 11.03.2018, 16:45 --

Если есть еще решения, должно быть $m=2n-1$, поскольку $p\approx q^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Gg322


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group