Равенство сумм геометрических прогрессий

[waxtep]

Найти простые $p>q$ и натуральные $m>n>1$ такие, что $S_n(p)=S_m(q)$, где $S_n(p)=\frac{p^n-1}{p-1}$
Взялся доказывать несуществование, но, наткнулся на контрпример $1+5+25=1+2+4+8+16$
Вопрос: можно ли найти другие решения серийно, либо эффективно сузить пространство поиска при переборе? Просьба подтолкнуть в нужную сторону.

(источник и попытки решения)

Задача придумалась глядя на формулу для степени простого числа в каноническом разложении факториала; $p^n!$ делится на $p^{S_n(p)}$, но не на бОльшую степень $p$.
Видно, что $S_{n-1}(p)$ должно делиться на $q$ и, точнее, $S_{n-1}(p)=q(aq+1)$ и это можно развивать дальше и переформулировать задачу в операторном виде, $T_p^n(1)=T_q^m(1)$, где $T_p(x)=px+1$, но непонятно, что с этим дальше делать.
Далее, для конкретных пар $(p,q)$ можно доказывать отсутствие решений сравнения по модулю, например, $(3,2)$ не складывается по модулю $8$, а $(7,5)$ - по модулю $25$. Но у меня не получается увидеть здесь систему, даже вопрос о наличии решений $5^n+3=2^{m+2}$, кроме $n=3,m=5$ ставит в тупик. Очевидно, не хватает культуры, пытаюсь наращивать по Бухштабу, но пока нахожусь на ранних страницах.

[Sonic86]

(Оффтоп)

waxtep в сообщении #1296446 писал(а):

даже вопрос о наличии решений $5^n+3=2^{m+2}$, кроме $n=3,m=5$ ставит в тупик.

Например, эта тема topic64538.html и далее по ссылкам - таких тем было очень много и такие уравнения в каждом конкретном случае нетрудные.

waxtep в сообщении #1296446 писал(а):

$1+5+25=1+2+4+8+16$

$$8191 = \frac{90^3-1}{90-1}= \frac{2^{13}-1}{2-1}$$

Неважно, что основания не простые.

waxtep в сообщении #1296446 писал(а):

Вопрос: можно ли найти другие решения серийно, либо эффективно сузить пространство поиска при переборе?

Вряд ли это легкое уравнение.

[waxtep]

Sonic86, спасибо! Интересно, можно ли указать ограничения на показатели, кроме понятных $n\ge3,m-n\ge2$ ? (верно для простых $(p,q)$, но не факт для составных)

-- 11.03.2018, 16:11 --

Простота $p,q$ все таки заметно упрощает задачу: кажется, нетрудно доказать, что для $n=3$ решение $p=5,q=2,m=5$ единственно (иначе бы $p$ и $p+1$ слишком сильно отличались друг от друга)

-- 11.03.2018, 16:14 --

И поэтому, кстати, $m-n$ не может быть чересчур велико; возможно, $m-n=2$ единственный вариант

[waxtep]

Черт побери, осмелюсь заявить, что это глобально единственное решение! (в простых) Клянусь своей треуголкой

-- 11.03.2018, 16:45 --

Если есть еще решения, должно быть $m=2n-1$, поскольку $p\approx q^2$