2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Эффект Рунге: неинтерполируемость по равноотстоящим узлам
Сообщение25.06.2008, 01:32 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Требуется постороить функцию, чтобы максимальное отклонение интерполяционного полинома (по равноотстоящим узлам) было неограниченно на отрезке $[a,b]$ (изначально a=-1, b=1). Если такая функция существует, то хорошо было бы также обьяснить, почему это происходит.
Я пока что придумал (вернее нашел) пример для всей вещественной оси, это так называемая функция Рунге: "$\frac{1}{1+25x^2}$". В данном случае обьяснить могу так: полином неограничен при стремлении аргумента к бесконечности, а данная функция ограниченна. Но вот для конечных $a, b$ пока ничего не придумал.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.06.2008, 06:22 
Экс-модератор


17/06/06
5004
От интерполируемой функции вообще никакой хорошести не требуется? То есть можно нарисовать функцию Дирихле какую-нибудь? :roll: Ну то есть сама-то она по равноотстоящим узлам хорошо аппроксимируется, но это так, уточнение.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.06.2008, 06:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
\[
f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c}
   {0\;,\;x =  - 1}  \\
   {\frac{1}{{x + 1}}\;,\; - 1 < x \le 1}  \\
\end{array}} \right.
\]
Попробуйте обосновать или опровергнуть утверждение, что мой пример решает задачу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинтерполируемая по равноотстоящим узлам функция
Сообщение25.06.2008, 08:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5496
Нов-ск
Spook писал(а):
Требуется постороить функцию, чтобы максимальное отклонение интерполяционного полинома (по равноотстоящим узлам) было неограниченно на отрезке $[a,b]$ (изначально a=-1, b=1). Если такая функция существует, то хорошо было бы также обьяснить, почему это происходит.
Под неинтерполируемой на равномерной сетке функцией я бы понимал такую, для которой максимальное отклонение от интерполяционного полинома не может быть сделано сколь угодно малым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неинтерполируемая по равноотстоящим узлам функция
Сообщение25.06.2008, 12:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3133
Уфа
Spook писал(а):
...полином неограничен при стремлении аргумента к бесконечности, а данная функция ограниченна. Но вот для конечных $a, b$ пока ничего не придумал.

Мне кажется, Вы немножко неправильно понимаете условие задачи. Если так её понимать, то придумать ничего невозможно. Ведь любой многочлен на любом конечном отрезке ограничен.
Другое дело --- что семейство многочленов (например, семейство интерполяционных многочленов на отрезке для конкретной функции и для всевозможных сеток из равноотстоящих узлов) может быть не ограничено какой-то одной (одинаковой для всего семейства) константой.
Я думаю, для Вашего примера функция Рунге также подойдёт. Я почти уверен (считать лень), что при стремлении числа узлов к бесконечности максимальное отклонение многочлена от этой функции будет неограниченно расти. Попробуйте подсчитать (или оценить снизу модуль) значение интерполяционного многочлена в середине самого правого отрезка. Должно получиться что-то неограниченно возрастающее (по модулю) при увеличении числа точек разбиения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение25.06.2008, 21:12 
Аватара пользователя


23/01/08
565
AD писал(а):
От интерполируемой функции вообще никакой хорошести не требуется?
да нет, просто хотя бы какой-нибудь пример.

Brukvalub я думаю, что Ваша функция подходит, по той же причине, что и функция Рунге (в причине вроде как разобрался, см. ниже)

TOTAL писал(а):
Под неинтерполируемой на равномерной сетке функцией я бы понимал такую, для которой максимальное отклонение от интерполяционного полинома не может быть сделано сколь угодно малым.

Ну и такая тоже неинтерполируема.

worm2 писал(а):
Мне кажется, Вы немножко неправильно понимаете условие задачи. Если так её понимать, то придумать ничего невозможно. Ведь любой многочлен на любом конечном отрезке ограничен.
Другое дело --- что семейство многочленов (например, семейство интерполяционных многочленов на отрезке для конкретной функции и для всевозможных сеток из равноотстоящих узлов) может быть не ограничено какой-то одной (одинаковой для всего семейства) константой.
Наверное я не совсем правильно выразил свои мысли, но это и имел ввиду. То есть при увеличении числа узлов (а значит и степени полинома) максимальное отклонение неограниченно растет.

worm2 писал(а):
Я думаю, для Вашего примера функция Рунге также подойдёт. Я почти уверен (считать лень), что при стремлении числа узлов к бесконечности максимальное отклонение многочлена от этой функции будет неограниченно расти. Попробуйте подсчитать (или оценить снизу модуль) значение интерполяционного многочлена в середине самого правого отрезка. Должно получиться что-то неограниченно возрастающее (по модулю) при увеличении числа точек разбиения.
Да, эта функция подойдет, как и пример Brukvalubа. Я тут наконец-то нашел статью, в которой говорится, что Рунге доказал, что в интервале $[0.72,1]$ его функции, она имеет неограниченное отклонение от интерполяционного плинома (при увеличении числа узлов). Кстати попробовал реализовать это на компе в MathLab, получил, что при $21$ узле ошибка интерполяции равна приближенно $40$, а при $11$ - примерно $2$.
Причиной этому я считаю (тоже, по-видимому, будет и с функцией Brukvalubа) служит то, что функция на маленьком промежутке вблизи 1 похожа на константу, а полином высокой степени так себя вести не может. Кстати сказать, интерполяция по чебышёвским узлам (полиномами Чебышёва) обеспечивает убывание погрешности до нуля. Думаю это связано с тем, что узлы эти сосредоточенны как раз на "плохих" участках, где функция почти постоянна, а около "бугорка" их мало.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 06:24 


09/06/06
367
А я не понял : какой интерполяционный полином имеет ввиду spook .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 09:51 
Аватара пользователя


23/01/08
565
ГАЗ-67, Вы имеете ввиду в какой форме? Просто интерполяционный полином - это такой полином, который проходит через табличный точки, он существует и единственен.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 16:25 
Аватара пользователя


23/01/08
565
Поговорил сегодня с преподавателем, он сказал, что в принципе правильно. Так что вопрос снят, всем спасибо.

ЗЫ. Однако, Brukvalub, если Вы считаете, что ответ на Вашу задачу неверный/неполный просьба написать.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 16:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Spook писал(а):
ЗЫ. Однако, Brukvalub, если Вы считаете, что ответ на Вашу задачу неверный/неполный просьба написать.
Нет, я считаю, что мой пример дает верный ответ на поставленную Вами задачу. Другой вопрос, что сама задача показалась мне плохо сформулированной...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 16:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5496
Нов-ск
Spook писал(а):
ЗЫ. Однако, Brukvalub, если Вы считаете, что ответ на Вашу задачу неверный/неполный просьба написать.
Конечно, неверный. У Brukvalubа функция неограничена, вот и вся причина.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 17:19 
Аватара пользователя


23/01/08
565
TOTAL, но в таблице то все-таки будут конечные значения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5496
Нов-ск
Spook писал(а):
TOTAL, но в таблице то все-таки будут конечные значения.
Конечные значения при измельчении сетки ограничены чем?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Spook писал(а):
Требуется постороить функцию, чтобы максимальное отклонение интерполяционного полинома (по равноотстоящим узлам) было неограниченно на отрезке $[a,b]$ (изначально a=-1, b=1).

TOTAL писал(а):
Конечные значения при измельчении сетки ограничены чем?
Не понял, при чем здесь какие-то конечные изменения, и прочие фантазии. Функция на отрезке неограничена, любой полином на отрезке ограничен, значит "максимальное отклонение интерполяционного полинома (по равноотстоящим узлам) будет неограниченно на отрезке". Все остальное - измышлизмы, которых в условии задачи нет, значит я дал верный пример.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение26.06.2008, 17:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5496
Нов-ск
Brukvalub писал(а):
Все остальное - измышлизмы, которых в условии задачи нет, значит я дал верный пример.
Почитайте, как он объясняет, что этот пример верный.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 23 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group