Эффект Рунге: неинтерполируемость по равноотстоящим узлам

[Spook]

Требуется постороить функцию, чтобы максимальное отклонение интерполяционного полинома (по равноотстоящим узлам) было неограниченно на отрезке $[a,b]$ (изначально a=-1, b=1). Если такая функция существует, то хорошо было бы также обьяснить, почему это происходит.
Я пока что придумал (вернее нашел) пример для всей вещественной оси, это так называемая функция Рунге: "$\frac{1}{1+25x^2}$". В данном случае обьяснить могу так: полином неограничен при стремлении аргумента к бесконечности, а данная функция ограниченна. Но вот для конечных $a, b$ пока ничего не придумал.

[AD]

От интерполируемой функции вообще никакой хорошести не требуется? То есть можно нарисовать функцию Дирихле какую-нибудь? Ну то есть сама-то она по равноотстоящим узлам хорошо аппроксимируется, но это так, уточнение.

[Brukvalub]

\[ f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {0\;,\;x = - 1} \\ {\frac{1}{{x + 1}}\;,\; - 1 < x \le 1} \\ \end{array}} \right. \]

Попробуйте обосновать или опровергнуть утверждение, что мой пример решает задачу.

[TOTAL]

Spook писал(а):

Требуется постороить функцию, чтобы максимальное отклонение интерполяционного полинома (по равноотстоящим узлам) было неограниченно на отрезке $[a,b]$ (изначально a=-1, b=1). Если такая функция существует, то хорошо было бы также обьяснить, почему это происходит.

Под неинтерполируемой на равномерной сетке функцией я бы понимал такую, для которой максимальное отклонение от интерполяционного полинома не может быть сделано сколь угодно малым.

[worm2]

Spook писал(а):

...полином неограничен при стремлении аргумента к бесконечности, а данная функция ограниченна. Но вот для конечных $a, b$ пока ничего не придумал.

Мне кажется, Вы немножко неправильно понимаете условие задачи. Если так её понимать, то придумать ничего невозможно. Ведь любой многочлен на любом конечном отрезке ограничен.
Другое дело --- что семейство многочленов (например, семейство интерполяционных многочленов на отрезке для конкретной функции и для всевозможных сеток из равноотстоящих узлов) может быть не ограничено какой-то одной (одинаковой для всего семейства) константой.
Я думаю, для Вашего примера функция Рунге также подойдёт. Я почти уверен (считать лень), что при стремлении числа узлов к бесконечности максимальное отклонение многочлена от этой функции будет неограниченно расти. Попробуйте подсчитать (или оценить снизу модуль) значение интерполяционного многочлена в середине самого правого отрезка. Должно получиться что-то неограниченно возрастающее (по модулю) при увеличении числа точек разбиения.

[Spook]

AD писал(а):

От интерполируемой функции вообще никакой хорошести не требуется?

да нет, просто хотя бы какой-нибудь пример.

Brukvalub я думаю, что Ваша функция подходит, по той же причине, что и функция Рунге (в причине вроде как разобрался, см. ниже)

TOTAL писал(а):

Под неинтерполируемой на равномерной сетке функцией я бы понимал такую, для которой максимальное отклонение от интерполяционного полинома не может быть сделано сколь угодно малым.

Ну и такая тоже неинтерполируема.

worm2 писал(а):

Мне кажется, Вы немножко неправильно понимаете условие задачи. Если так её понимать, то придумать ничего невозможно. Ведь любой многочлен на любом конечном отрезке ограничен.
Другое дело --- что семейство многочленов (например, семейство интерполяционных многочленов на отрезке для конкретной функции и для всевозможных сеток из равноотстоящих узлов) может быть не ограничено какой-то одной (одинаковой для всего семейства) константой.

Наверное я не совсем правильно выразил свои мысли, но это и имел ввиду. То есть при увеличении числа узлов (а значит и степени полинома) максимальное отклонение неограниченно растет.

worm2 писал(а):

Я думаю, для Вашего примера функция Рунге также подойдёт. Я почти уверен (считать лень), что при стремлении числа узлов к бесконечности максимальное отклонение многочлена от этой функции будет неограниченно расти. Попробуйте подсчитать (или оценить снизу модуль) значение интерполяционного многочлена в середине самого правого отрезка. Должно получиться что-то неограниченно возрастающее (по модулю) при увеличении числа точек разбиения.

Да, эта функция подойдет, как и пример Brukvalubа. Я тут наконец-то нашел статью, в которой говорится, что Рунге доказал, что в интервале $[0.72,1]$ его функции, она имеет неограниченное отклонение от интерполяционного плинома (при увеличении числа узлов). Кстати попробовал реализовать это на компе в MathLab, получил, что при $21$ узле ошибка интерполяции равна приближенно $40$, а при $11$ - примерно $2$.
Причиной этому я считаю (тоже, по-видимому, будет и с функцией Brukvalubа) служит то, что функция на маленьком промежутке вблизи 1 похожа на константу, а полином высокой степени так себя вести не может. Кстати сказать, интерполяция по чебышёвским узлам (полиномами Чебышёва) обеспечивает убывание погрешности до нуля. Думаю это связано с тем, что узлы эти сосредоточенны как раз на "плохих" участках, где функция почти постоянна, а около "бугорка" их мало.

[ГАЗ-67]

А я не понял : какой интерполяционный полином имеет ввиду spook .

[Spook]

ГАЗ-67, Вы имеете ввиду в какой форме? Просто интерполяционный полином - это такой полином, который проходит через табличный точки, он существует и единственен.

[Spook]

Поговорил сегодня с преподавателем, он сказал, что в принципе правильно. Так что вопрос снят, всем спасибо.

ЗЫ. Однако, Brukvalub, если Вы считаете, что ответ на Вашу задачу неверный/неполный просьба написать.

[Brukvalub]

Spook писал(а):

ЗЫ. Однако, Brukvalub, если Вы считаете, что ответ на Вашу задачу неверный/неполный просьба написать.

Нет, я считаю, что мой пример дает верный ответ на поставленную Вами задачу. Другой вопрос, что сама задача показалась мне плохо сформулированной...

[TOTAL]

Spook писал(а):

ЗЫ. Однако, Brukvalub, если Вы считаете, что ответ на Вашу задачу неверный/неполный просьба написать.

Конечно, неверный. У Brukvalubа функция неограничена, вот и вся причина.

[Spook]

TOTAL, но в таблице то все-таки будут конечные значения.

[TOTAL]

Spook писал(а):

TOTAL, но в таблице то все-таки будут конечные значения.

Конечные значения при измельчении сетки ограничены чем?

[Brukvalub]

Spook писал(а):

Требуется постороить функцию, чтобы максимальное отклонение интерполяционного полинома (по равноотстоящим узлам) было неограниченно на отрезке $[a,b]$ (изначально a=-1, b=1).

TOTAL писал(а):

Конечные значения при измельчении сетки ограничены чем?

Не понял, при чем здесь какие-то конечные изменения, и прочие фантазии. Функция на отрезке неограничена, любой полином на отрезке ограничен, значит "максимальное отклонение интерполяционного полинома (по равноотстоящим узлам) будет неограниченно на отрезке". Все остальное - измышлизмы, которых в условии задачи нет, значит я дал верный пример.

[TOTAL]

Brukvalub писал(а):

Все остальное - измышлизмы, которых в условии задачи нет, значит я дал верный пример.

Почитайте, как он объясняет, что этот пример верный.