Область конформности

[MChagall]

Указать какую-нибудь максимальную область конформности для
а) $\sinh z^2$
б) $\Psi(\tg z)$, $\Psi(z)$ - функция Жуковского
в) $\Psi((\Psi(z))^2)$

Использую, что функция конформна там, где она однолистна и производная не равна нулю.
а) $(\sinh z^2)'=2z\cosh z^2$, равна нулю при $z=0$.
Далее нахожу точки, где $\sinh (z_1^2)=\sinh (z_2^2)$.
$e^{z_1^2}-e^{-z_1^2}=e^{z_2^2}-e^{-z_2^2}$

$(e^{z_1^2}-e^{z_2^2})(1+\frac{1}{e^{z_1^2}e^{z_2^2}})=0$

Либо (1) $e^{z_1^2}=e^{z_2^2}$ и $z_1=\pm z_2$

Либо (2) $e^{z_1^2}e^{z_2^2}=-1$, что приводит к системе

$\left\{ \begin{array}{rcl} &x_1^2+x_2^2=y_1^2+y_2^2& \\ &x_1y_1+x_2y_2=\frac{\pi}{2}+\pi n& \\ \end{array} \right.$, где $x_1+iy_1=z_1$; $x_2+iy_2=z_2$
с которой я не знаю, что делать. Правильно ли я делаю, и что дальше?
Под б) похожая сложность, хочу сначала с а) разобраться.

[DeBill]

MChagall
(2) Вы расписали правильно (хотя и зря - удобнее, видимо, работать прямо с комплексными числами).
Но почему же тогда в более простой (1) - ошибка?
Может, попробовать в два шага: найти для начала область однолистности просто для гиперболического синуса, а уж потом....

[thething]

MChagall в сообщении #1295461 писал(а):

Либо (1) $e^{z_1^2}=e^{z_2^2}$ и $z_1=\pm z_2$

Должно быть $z_1^2=z_2^2+2\pi{ki}$

MChagall в сообщении #1295461 писал(а):

Либо (2) $e^{z_1^2}e^{z_2^2}=-1$,

Здесь -- аналогично.
Ну и, возможно, стОит получить условия только на квадраты, они тоже вполне себе характеризуют область.

[MChagall]

DeBill в сообщении #1295464 писал(а):

найти для начала область однолистности просто для гиперболического синуса

Найдём область однолистности $\sinh z$. $\sinh z$ имеет период $2\pi i n$, поэтому можем взять горизонтальную полосу $0<\operatorname{Im(z)}<2\pi in$.
Это однолистность, для конформности ещё проверим равенство нулю производной: $(\sinh z)'=\cosh z=0$ при $z=\frac{i\pi}{2}+i\pi n$. Поэтому в качестве максимальной области конформности можем взять полосу $\frac{i\pi}{2}\leqslant\operatorname{Im(z)}<\frac{3i\pi}{2}$.
Далее берём композицию $z^2\to\sinh z$. Композиция конформных должна быть конформной, верно?
Максимальная область конформности для $z^2$ верхняя полуплоскость. Надо в качестве итоговой области взять те точки верхней полуплоскости, которые переходят при возведении в квадрат в полосу $\frac{i\pi}{2}\leqslant\operatorname{Im(z)}<\frac{3i\pi}{2}$. Верно рассуждаю?
Но вот здесь и непонятно, как дальше. Единственная мысль $z^2=\left\lvert z\right\rvert^2e^{i 2\varphi}=\left\lvert z\right\rvert^2\cos2\varphi+i \left\lvert z\right\rvert^2\sin 2\varphi$. И далее берем числа для которых $\frac{\pi}{2}\leqslant\left\lvert z\right\rvert^2\sin 2\varphi\leqslant\frac{3\pi}{2}$. Но какой-то ответ некрасивый. Что делать?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1295618 писал(а):

Но какой-то ответ некрасивый. Что делать?

Ну, не такой уж и некрасивый - это что-то знакомое - в полярных координатах.
Но проще - вот именно здесь - для $z$ использовать алгебраическую форму записи.
И получитсяправильный ответ. Но: доказали ли Вы максимальность построенной области?

[MChagall]

DeBill в сообщении #1295622 писал(а):

И получитсяправильный ответ.

$\frac{\pi}{4x}\leqslant y<\frac{3\pi}{4x}$? То есть полоса между ветвями гипербол $y=\frac{\pi}{4x}$ и $y=\frac{3\pi}{4x}$ $(x>0)$. Она при $z^2$ переходит в нужную горизонтальную полосу. Верно?
А про максимальность. Эта область конформна как композиция конформных. А расширить не могу, ибо на границе производная равна 0. Или что-то ещё надо показывать?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1295626 писал(а):

ибо на границе производная равна 0.

Но не на всей же границе...А вдруг можно расширить, добавляя кусочки, не содержащие нулей производной?
Но, если бы удалось доказать, что на этой области Ваша функция принимает ВСЕ значения (ну, или почти все...), то - да, расширять далее нельзя, нарушится однолистность

-- 06.03.2018, 03:59 --

MChagall в сообщении #1295626 писал(а):

Верно?

Да.

[MChagall]

DeBill в сообщении #1295636 писал(а):

Но не на всей же границе

Кроме точки $z=\infty$?

DeBill в сообщении #1295636 писал(а):

Но, если бы удалось доказать, что на этой области Ваша функция принимает ВСЕ значения

Может, так. Представим отображение как композицию следующих отображений:
$z\to z^2$ - переводит нашу область в горизонтальную полосу.
$z\to e^z$ - в левую полуплоскость $x<0$
$z\to\frac{z}{i}$ - поворот на 90 градусов по часам. Получаем верхнюю полуплоскость.
$z\to\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})=\frac{\sinh z}{i}$ - функция Жуковского. Здесь, похоже, прокол, ибо наша область не однолистна для данной функции. Или ошибаюсь где-то?
Если правда, то наверное, надо брать изначальную область $\frac{\pi}{4}<\varphi<\frac{\pi}{2}$. Но тогда ВСЕ наша функция не принимает. Где ошибся и как быть?

[Someone]

MChagall в сообщении #1295703 писал(а):

$z\to\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z})=\frac{\sinh z}{i}$ - функция Жуковского.

Откуда гиперболический синус?

[MChagall]

Someone в сообщении #1295708 писал(а):

Откуда гиперболический синус?

$\frac{1}{2}(\frac{e^z}{i}+\frac{i}{e^z})=\frac{1}{2i}(e^z-e^{-z})=\frac{\sinh z}{i}$
В синусе $z$ не тот, что в функции Жуковского. Просто показал, что мы пришли (почти) к тому, что надо.

[Someone]

MChagall в сообщении #1295719 писал(а):

Someone в сообщении #1295708 писал(а):

Откуда гиперболический синус?

$\frac{1}{2}(\frac{e^z}{i}+\frac{i}{e^z})=\frac{1}{2i}(e^z-e^{-z})=\frac{\sinh z}{i}$
В синусе $z$ не тот, что в функции Жуковского. Просто показал, что мы пришли (почти) к тому, что надо.

Извините, но это жуткое безобразие. Я бы на месте преподавателя это решение не засчитал. Сделайте нормальные обозначения, чтобы каждая "буква" обозначала что-нибудь одно.

[DeBill]

MChagall в сообщении #1295703 писал(а):

ибо наша область не однолистна для данной функции

Да нет, все в порядке - однолистна она тут (Вас учили, да?: функция Жуковского однолистна в любой области, не содержащей одновременно точек $z$ и $\frac{1}{z}$)

-- 06.03.2018, 23:24 --

MChagall в сообщении #1295703 писал(а):

Кроме точки $z=\infty$?

Нет, и Вы это писали: производная зануляется только на последовательности (а по теореме единственности, иначе и быть не могло) . Но это - детали....
И теперь понятно, как следовало решать эту задачу: взять в образе односвязную область, содержащую "почти все" точки из $\mathbb{C}$, и не содержащую критических ЗНАЧЕНИЙ функции, и найти ее прообраз (точнее, его связную компоненту). Это удастся сделать, если суметь представить Вашу функцию как композицию элементарных, а область выбрать приличной - чтоб прообразы легко находились. Что, собственно, и было проделано....

[MChagall]

Someone в сообщении #1295728 писал(а):

Извините, но это жуткое безобразие.

Прошу прощения за "жуткую" неаккуратность. Постараюсь исправиться, заодно подытожу:
Максимальная область конформности: полоса между ветвями гипербол $y=\frac{\pi}{4x}$ и $y=\frac{3\pi}{4x}$ $(x>0)$
$z_1=z^2$ - переводит нашу область в горизонтальную полосу.

$z_2=e^{z_1}$ - в левую полуплоскость $x<0$

$z_3=\frac{z_2}{i}$ - поворот на 90 градусов по часам. Получаем верхнюю полуплоскость.

$z_4=\frac{1}{2}(z_3+\frac{1}{z_3})=\frac{\sinh z_1}{i}$ - функция Жуковского. А это к чему приводит? К $\mathbb{C}$ без действительной оси?

И ещё несколько вопросов. Просто на лекции присутствовать не смог, а в интернете не нашёл сходу.

DeBill в сообщении #1295746 писал(а):

взять в образе односвязную область

Правильно ли я думал, что максимальная область конформности - односвязная область?

DeBill в сообщении #1295746 писал(а):

критических ЗНАЧЕНИЙ функции

Вы имеете ввиду точки, в которых производная равна нулю? В моём случае ($\sinh z^2$) это $z=0$?

DeBill в сообщении #1295746 писал(а):

"почти все" точки из $\mathbb{C}$

Что Вы называете "почти все"?

[DeBill]

MChagall в сообщении #1295774 писал(а):

Вы имеете ввиду точки, в которых производная равна нулю?

Нет: их образы. И: производная равна 0 не только там - Вы это писали: таких точек много. Но образов их - мало...

MChagall в сообщении #1295774 писал(а):

А это к чему приводит? К $\mathbb{C}$ без действительной оси?

Нет: без отрезка от -1 до 1. В смысле, с разрезами вне этого отрезка.

MChagall в сообщении #1295774 писал(а):

Что Вы называете "почти все"?

Плоскость с разрезами..

[MChagall]

С а), вроде, разобрался.

б) Производная равна 0 там, где $\tg z=\pm1$, не существует где $\cos z=0$, собственно и сама функция там не существует.
В общем, берём полосу $-\frac{\pi}{4}<\operatorname{Re} z<\frac{\pi}{4}$.
$\tg z$ переводит её во внутренность единичного круга.
И далее функция Жуковского отображает эту внутренность на $\mathbb{C}\setminus[-1, 1]$.
Нигде не обманываю(сь)?

в) Производная равна нулю при $z=\pm1; \pm i; \frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i; \frac{i(1\pm\sqrt{5})}{2}$.
В качестве области берём внешность единичного круга в первой четверти ($x, y>0$).
Первый Жуковский расширяет её до первой четверти, возведение в квадрат - до верхней полуплоскости, второй Жуковский отображает на $\mathbb{C}\setminus[-1, 1]$.
Верно ли здесь?