Давайте вернёмся к более простому этапу движения корабля - к полёту после разгона, уже без ускорения. Тогда нам не придётся возиться с таблицей чисел, всё легко сосчитается в общем виде. Чертеж этого этапа раньше здесь уже
был нарисован. Теперь я только добавил туда изображение двух световых сигналов, посылаемых с Планеты навстречу кораблю (красные линии на рис.) и, соответственно, изображены два события, наблюдаемые на корабле Капитаном корабля:

- приём кораблём сигнала, испущенного Планетой в событии "П",

- приём кораблём сигнала, испущенного Планетой позднее, а именно через время

года по часам Планеты.

Далее в рассуждении предполагается, что Капитан заранее договорился с учёными Планеты, что интервал времени между отправкой сигналов на Планете составит именно эту величину:

и что корабль на этапе приёма сигналов будет лететь к Планете именно с заданной постоянной скоростью

(в нашем примере

в единицах с

Приняв в корабле оба сигнала (на рис. это события

и

Капитан прямо по часам корабля видит интервал времени

между этими событиями.
А затем Капитан делает два несложных расчёта:
1. Один раз по величине

с учётом заранее известной

он вычисляет, каким должен был быть интервал времени между отправкой сигналов на Планете, если считать, что время на корабле и планетах течёт одинаково (т.е. если предполагать, что СТО не работает - время идёт одинаково во всех системах отсчёта); результат этого расчёта обозначим

2. Второй раз Капитан по той же измеренной им величине

с учётом заранее известной

вычисляет интервал времени между отправкой сигналов на Планете, пользуясь СТО. (Чтобы не плодить новых обозначений, мы обозначим результат этого расчёта сразу как

потому что мы с вами не сомневаемся в справедливости СТО, и знаем, что этот расчёт Капитана должен дать ту самую заранее условленную величину

Ну, а Капитан, выполнив расчёт по СТО, сам убедится: мол, да, получается то самое
Наконец, сравнив

и

Капитан узнает, есть или нет замедление времени на Планете: если окажется, что

меньше, чем

то замедление времени на Планете относительно времени корабля явно есть.
Итак, ставим себя на место Капитана и приступаем к расчётам. Тут только есть один нюанс: интервал

который Капитан видит прямо по часам корабля, нам-то придётся вычислить из указанного выше чертежа, изображающего полёт. Но это не страшно, это же лёгкая школьная задачка.
Уравнение прямой мировой линии, изображающей полёт корабля на указанном чертеже, очевидно, есть:

Уравнение красной линии, проходящей через

есть

где

св. года - расстояние между Землёй и Планетой. Эти два уравнения образуют систему уравнений для мировых координат события

Решив её, находим временную координату события


Аналогично, уравнение второй красной линии есть

где T - интервал времени на Планете между отправкой сигналов. Вместе с уравнением ракеты

это уравнение даёт нам систему для нахождения мировых координат события

Решив её, имеем временную координату события


Разность этих значений обозначим как


Аналогично можем найти разность

-координат, и вычислить интервал собственного времени корабля

между событиями

и

из формулы СТО

получится тот же результат, что и по формуле

Подставив сюда выписанное выше выражение для

получаем:

Это есть тот интервал времени между событими

и

который видит по своим часам Капитан корабля. (Эта формула в СТО описывает для данного примера релятивистский эффект Доплера; она автоматически учитывает и обычный эффект Доплера, и релятивистское изменение времени).
Капитан действует "согласно ранее утверждённому плану":
1. Предполагая, что СТО не работает, Капитан принимает измеренный им интервал времени

за тот же самый интервал времени

который имеется между событиями

и

в системе покоя Планеты:

Найдя так же, как мы, выражение для

и полагая в нём в роли

ещё пока неизвестную величину

Капитан пишет:

2. Предполагая же, что СТО верна, Капитан для той же измеренной им величины

пишет формулу, учитывающую релятивистский эффект Доплера:

Затем он из этих формул с известными значениями

и

находит значения

и

и убеждается, что совпадает с зараненее условленным интервалом между отправкой сигналов на Планете именно

а величина

получается меньше правильной:

Это и есть описание замедления времени на Планете с точки зрения корабля. Как видим, замедление времени на Планете по отношению к часам корабя описывается тем же самым "релятивистским корнем", каким и замедление часов корабля по отношению к Планете или Земле.
(Ну, вроде разжевал всё до мелочей. Если будет у ТС желание проверить всё "в программе" или ещё как-то, то вот для сравнения численные ответы в этом примере с указанными на рис. событиями:
