Парадокс близнецов / Замедление времени

[mihaild]

MichaelV в сообщении #1294856 писал(а):

Так а как узнать, что я нигде не ошибся? Для этого надо хотя бы примерно представлять, что ожидать. Не просить же тут в обсуждении пересчитывать за мной все расчеты.

Вполне нормально: приведите конкретные рассчеты (только сначала описание задачи конечно), кто-нибудь их проверит. Это будет полезнее, чем еще 6 страниц обсуждения.

Смотрите: вам и я, и много действительно разбирающихся товарищей советуют перестать просто говорить и начать считать. Попробуйте хотя бы.

[MichaelV]

Someone в сообщении #1294867 писал(а):

Вам объясняют — Вы объяснения игнорируете. Вам предлагают что-то посчитать или задают вопрос — Вы игнорируете. И всё время талдычите своё. Типичный троллинг.

В том комментарии, который вы назвали троллингом, я отвечал на вопросы и советы зачем мне вообще понадобилось ускорение на момент создания темы. На момент самого комментария я уже примерно понял что и как считать, но вопросы и советы были высказаны, и на них надо было ответить. Как раз чтобы это не выглядело, будто я их игнорирую.

Someone в сообщении #1294867 писал(а):

Что, совсем считать не умеете, даже на калькуляторе? Для такого пустякового расчёта писать специальную программу…

Считать вручную 100 раз для каждой секунды торможения? Как я уже сказал, меня интересуют результаты эксперимента, а не абстрактные расчеты в невозможной ситуации. Поэтому и программа будет для него, ну или не будет, если вы правы насчет "вряд ли". Прошу вас воздержаться от переходов на личности.

Dragon27 в сообщении #1294880 писал(а):

Нет, если вы хотите самостоятельно действительно разобраться, то вы будете читать учебник. Это сэкономит кучу времени, непонятных объяснений на форумах, споров и вообще - принесёт результат.

Представьте, что вы обращаетесь к сотруднику организации с интересующим вас вопросом, например в банк или в техподдержку мобильного оператора, а он вам говорит "Информация по этому вопросу есть у нас на сайте в таком-то разделе. Раз вас это интересует, идите и читайте, сэкономите кучу времени". Действительно ли это сэкономит вам время?

Someone в сообщении #1294867 писал(а):

В учебниках такую ситуацию вряд ли кто-нибудь рассматривает, поскольку никакого смысла в этом нет.

Dragon27 в сообщении #1294880 писал(а):

В начале разберитесь с простейшими явлениями, потом постепенно подключайте усложнения, ускорения, эффекты Доплера - я так считаю.

Наоборот. Размышления о том, где появляется ускорение и привели меня к выводу, что есть какая-то зависимость от координаты. А уже потом мне сказали, что это называется "преобразования Лоренца".

Рассуждения были такие.
Имеем замедление в своей системе при подлете и одновременное начало отсчета. Значит когда-то в ней время ушло вперед. Если бы убегание было одинаковым для всех планет, то за время полета между планетами накопилось бы отставание. Значит оно разное. Раз планеты различаются только положением относительно корабля, то от него и есть зависимость.

Как видите, для вывода нужен разгон и наличие как минимум 2 планет кроме стартовой. Так что представлять в динамике полезно.

С эффектом Доплера я действительно ошибся, да и в расчетах похоже косинус неправильно посчитал.

Dragon27 в сообщении #1294880 писал(а):

Отсюда можно сделать только такой вывод - в процессе ускорения часы на планетах впереди перескочили вперёд.
Часы показывают время (в системе отсчёта) - это уже с учётом конечности распространения сигнала.

Да, ваши объяснения были самые полезные. В том, что вы процитировали, я просто объяснял, почему не хочу "оставить динамику". На тот момент принцип я уже понял.

[rockclimber]

MichaelV в сообщении #1295075 писал(а):

Представьте, что вы обращаетесь к сотруднику организации с интересующим вас вопросом, например в банк или в техподдержку мобильного оператора, а он вам говорит "Информация по этому вопросу есть у нас на сайте в таком-то разделе. Раз вас это интересует, идите и читайте, сэкономите кучу времени".

Когда сотрудник банка говорит мне такое, я обычно спрашиваю, за что я плачу ему деньги. Попробуйте и вы спросить

[Dragon27]

MichaelV в сообщении #1295075 писал(а):

Представьте, что вы обращаетесь к сотруднику организации с интересующим вас вопросом, например в банк или в техподдержку мобильного оператора

Аналогии - всегда вещь плохая. Ну или почти всегда. Не советую.
Мы ж не банк и не техподдержка. Ладно бы там, журналист научных сотрудников о новом открытии пытал (наговорить ему общими словами, нарисовать красивых картинок, объяснить какие-нибудь банальные вещи - и готово), или ещё какая-нибудь рабочая ситуация.
Здесь вы хотите разобраться в принципах физической теории (совсем несложной, в общем-то, теории; и расчёты от вас несложные требуются). На самом деле разобраться, а не наработать "иллюзию понимания". Значит учебники. Тейлор, Уилер, "Физика пространства-времени".
Вы, кстати, с английским на какое местоимение? :)

MichaelV в сообщении #1295075 писал(а):

Считать вручную 100 раз для каждой секунды торможения? Как я уже сказал, меня интересуют результаты эксперимента, а не абстрактные расчеты в невозможной ситуации.

Не совсем тут, кстати, понял, почему вам не нравятся расчёты, но результаты эксперимента (программного, как я понял) - это результаты расчётов. Желание получать сразу результаты, конечно, понятно (мозг любить экономить на размышлениях), но поверьте - понимать вы начнёте именно тогда, когда самостоятельно сможете составить расчёт. Именно в промежуточных шагах, ведущих к конечным результатам, скрывается секрет к пониманию.
И что значит "считать вручную 100 раз"? Вы же выведете общее выражение (формулу) для любого момента времени (если будете расчёты вести "в буквах"). А там уже хоть Excel'ем можно таблицу составить.

MichaelV в сообщении #1295075 писал(а):

Имеем замедление в своей системе при подлете и одновременное начало отсчета. Значит когда-то в ней время ушло вперед. Если бы убегание было одинаковым для всех планет, то за время полета между планетами накопилось бы отставание. Значит оно разное. Раз планеты различаются только положением относительно корабля, то от него и есть зависимость.

Рассинхронизация при смене системы отсчёта зависит от расстояния, разумеется. Это сразу видно по преобразованиям Лоренца. Можно начальное расхождение вычислить и по известным эффектам: зная, как медленно будут тикать часы планеты, какое до неё расстояние (не такое же, как в ИСО, где планета покоится) и какое время на ней должно быть в конце, может легко вычислить, какое время должно быть на ней вначале, чтобы совпасть с конечным результатом.
Да даже из анализа размерностей ясно, что если у нас есть только расстояние, скорость корабля и скорость света, то в ответе это расстояние должно быть. Попробуйте прикинуть формулу чисто из анализа размерностей - полезный навык при решении физических задач.

[rustot]

MichaelV в сообщении #1295075 писал(а):

Считать вручную 100 раз для каждой секунды торможения? Как я уже сказал, меня интересуют результаты эксперимента, а не абстрактные расчеты в невозможной ситуации.

Нужно уметь заранее учесть как тот или иной параметр скажется на результате расчета. какой смысл допустим учитывать некий параметр который "не избежать в реальном эксперименте" если результат расчета с его учетом от результата расчета без его учета отличаются в двадцатом знаке после запятой, и такое отличие в том самом "реальном эксперименте" вы никогда не сможете заметить при измерении реальным прибором.

Если вы сами не умеете заранее оценивать такие погрешности, то просто поверьте на слово. Если этап ускорения длится 100 секунд а весь эксперимент неделю, то учитывать этап ускорения в расчетах вместо того чтобы считать что тело изначально двигалось с финальной скоростью - это та самая ловля блох в двадцатом знаке после запятой, бессмысленный перфекционизм

А если интересует именно ускорение - то уж считайте не 100 секунд с последующим неускоренным полетом, а просто непрерывно ускоряющееся тело, тело на которое действует постоянная сила, это проще, не нужно разбивать задачу на две части

[Cos(x-pi/2)]

Видно, что ТС не понял главного, а именно, что не зависит от расстояний и ускорений сам эффект замедления времени в движущемся теле относительно ИСО. В каждый сколь угодно малый интервал времени от $t$ до $t+dt$ по часам ИСО соответствующий интервал собственного времени движущегося тела $dt'$ зависит только от величины мгновенной скорости тела $v(t),$ но не зависит от ускорений и расстояний:

$dt'=\sqrt{1-v^2/c^2}\, dt\, .$

Какая набежит разница в показаниях часов движущегося тела и неподвижных тел в ИСО, это, конечно, тривиальным образом связано с длительностью полёта (и тем самым тривиально связано с пройденным расстоянием) - чем более долгий полёт, тем пропорционально большая может при прочих равных условиях накопиться разница. Для этого не нужно рассматривать ни ускорения, ни переходы в другие ИСО: показания собственных часов любых тел в конкретных событиях инвариантны к преобразованиям Лоренца.

Для примера, вот результат расчёта собственного времени ракеты на этапе ускорения от момента "—100 секунд"; разумеется, ничего особо интересного, кроме обычного релятивистского отставания часов в ракете (всего на жалкие три с лишним секунды :-) от часов "ИСО Земли", там не появляется:

(начальный этап полёта)

Темными жирными точками на мировой линии Земли показаны "тики" её собственных часов с интервалами в пять секунд. Светлыми кружками на мировой линии ракеты и синими цифрами изображены одновременные (в ИСО Земли) с указанными "тиками" показания собственных часов ракеты.

(Дополнительно красными линиями показаны световые сигналы, идущие от Земли к ракете с интервалами в пять секунд по часам Земли.)

[Walker_XXI]

(Оффтоп)

Dragon27 в сообщении #1295084 писал(а):

Вы, кстати, с английским на какое местоимение? :)

Для того, чтобы разобраться в СТО, не нужно знать иностранных языков - на русском есть масса литературы любого уровня.

[Walker_XXI]

MichaelV в сообщении #1295075 писал(а):

Считать вручную 100 раз для каждой секунды торможения? Как я уже сказал, меня интересуют результаты эксперимента, а не абстрактные расчеты в невозможной ситуации.

Если Вас интересуют результаты эксперимента, нужно ставить эксперимент. Если Вас интересуют теоретические предсказания для конкретного эксперимента, нужно понять, какая формула применима к данной ситуации и посчитать 1 раз по "абстрактной" формуле, а не считать непонятно что (поскольку с теорией так и не разобрались) "100 раз для каждой секунды".

MichaelV в сообщении #1295075 писал(а):

Представьте, что вы обращаетесь к сотруднику организации с интересующим вас вопросом, например в банк или в техподдержку мобильного оператора, а он вам говорит "Информация по этому вопросу есть у нас на сайте в таком-то разделе. Раз вас это интересует, идите и читайте, сэкономите кучу времени". Действительно ли это сэкономит вам время?

Когда вы обращаетесь с интересующим вопросом в техподдержку или к сотруднику банка, у вас не стоит задача понять технические детали и принципы работы системы, либо разобраться в премудростях экономики и финансового законодательства - Вы хотите решить конкретную проблему и забыть о ней. Говоря кратко, вас интересует что будет, а не почему так будет. Здесь же Вы хотите разобраться почему так происходит. Ответа не получить, не разобравшись хотя бы в азах теории. А это лучше делать по учебнику (они для того и писаны, но копипастить их сюда или пересказывать своими словами смысла нет). ТО создавалась не за 5 минут, причем людьми, хорошо разбирающимися в предмете. Чтобы сэкономить время, почитайте в учебнике, куда двигаться. Сейчас же всё сводится к комментированию каждого Вашего шага (а идёте Вы наугад и чаще в неверном направлении).

[MichaelV]

rockclimber в сообщении #1295078 писал(а):

Когда сотрудник банка говорит мне такое, я обычно спрашиваю, за что я плачу ему деньги. Попробуйте и вы спросить

Dragon27 в сообщении #1295084 писал(а):

Аналогии - всегда вещь плохая. Мы ж не банк и не техподдержка.

Это никак не влияет на затраты времени, ведь правда?) Аналогия не в том, что кто-то здесь сотрудник банка, а в том, что есть информация, которая кого-то интересует.
У меня был опыт самостоятельного изучения по учебникам, так что я представляю объем информации и время на ее получение.

Walker_XXI в сообщении #1295165 писал(а):

Когда вы обращаетесь с интересующим вопросом в техподдержку или к сотруднику банка, у вас не стоит задача понять технические детали и принципы работы системы, либо разобраться в премудростях экономики и финансового законодательства. Здесь же Вы хотите разобраться почему так происходит.

А в данном случае у меня не стоит задача понять всю физику или даже все аспекты теории относительности. Зачем играть словами? Когда человек звонит в техподдержку сотового оператора по поводу непонятного списания, он тоже хочет разобраться, почему так произошло.

Dragon27 в сообщении #1295084 писал(а):

Вы, кстати, с английским на какое местоимение? :)

С английским нормально, найти бы еще время на чтение. За пару часов 300 страниц не прочитаешь.

Dragon27 в сообщении #1295084 писал(а):

И что значит "считать вручную 100 раз"? Вы же выведете общее выражение (формулу) для любого момента времени (если будете расчёты вести "в буквах"). А там уже хоть Excel'ем можно таблицу составить.

Так человек на калькуляторе считать предложил. Дело не в сложности расчетов, а в количестве.

rustot в сообщении #1295087 писал(а):

Если этап ускорения длится 100 секунд а весь эксперимент неделю, то учитывать этап ускорения в расчетах вместо того чтобы считать что тело изначально двигалось с финальной скоростью - это та самая ловля блох в двадцатом знаке после запятой, бессмысленный перфекционизм

А что это даст? Мне не надо считать общую длительность полета. И насколько экипаж будет моложе, тоже. Есть контрольная точка - отсчет таймеров для всех начинается в один момент времени. Выкидывать ее никак нельзя. Вопрос был про то, что происходит между этим моментом и моментом начала того, о чем вы говорите. Ну и про обратный процесс.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1295088 писал(а):

Видно, что ТС не понял главного, а именно, что не зависит от расстояний и ускорений сам эффект замедления времени в движущемся теле относительно ИСО.
(Дополнительно красными линиями показаны световые сигналы, идущие от Земли к ракете с интервалами в пять секунд по часам Земли.)

У меня был вопрос не про замедление времени на ракете, а про замедление времени на планетах в системе ракеты.

Если я правильно понял график, на нем показано, что сигнал "На Земле -20 секунд" дойдет до корабля примерно в -14 секунд по его часам, а сигнал "На Земле -10 секунд" в -8 секунд, разница меньше 10 секунд. Если убрать задержку распространения, получится, что они были отправлены в -20.916 и -11.43, разница меньше 10 секунд. Как из него получить вывод "Корабль наблюдает замедление времени на Земле"?

-- 05.03.2018, 12:19 --

В общем, вот программа, как-то так я это представлял. Она не доделана до конца и возможно считает неправильно, но разбираться дальше нет времени. Всем спасибо, тему можно закрывать.

[Dragon27]

MichaelV в сообщении #1295487 писал(а):

А в данном случае у меня не стоит задача понять всю физику или даже все аспекты теории относительности. Зачем играть словами? Когда человек звонит в техподдержку сотового оператора по поводу непонятного списания, он тоже хочет разобраться, почему так произошло.

Вам придётся смириться с суровой правдой - понять СТО "частично" не получится. Понимание получится ложное и легко ведущее к ошибочным рассуждениям. Вам придётся самостоятельно (с подсказками и направлениями со стороны) изучить полноценно основы/суть СТО.
В данном случае - кинематику СТО, без динамики.

MichaelV в сообщении #1295487 писал(а):

С английским нормально, найти бы еще время на чтение. За пару часов 300 страниц не прочитаешь.

А и смысла нет. Моя любимая цитата из Sheldon Axler - Linear Algebra Done Right

Цитата:

You cannot read mathematics the way you read a novel. If you zip through a page in less than an hour, you are probably going too fast

Не всегда прям так экстремально, конечно, зависит от кучи факторов (и целей). Но вполне может быть и так, что на одну страницу может уйти целый день.
Понимание, к сожалению, это не просто "прочитал инструкцию и применил по шагам". Голова должна медленно переварить и впитать информацию.

MichaelV в сообщении #1295487 писал(а):

Так человек на калькуляторе считать предложил. Дело не в сложности расчетов, а в количестве.

Смотря что и как считать. Одно дело, сделать общий расчёт и получить формулу, в которую достаточно подставить нужные параметры и момент времени и она выдаст результат на этот момент времени. Другое дело - численно промоделировать, например, диффур (если решить не получается), или численно проинтегрировать.

[rustot]

MichaelV в сообщении #1295487 писал(а):

У меня был вопрос не про замедление времени на ракете, а про замедление времени на планетах в системе ракеты.

Что такое "система ракеты"? Система отсчета, относительно которой ракета покоится? Таких систем отсчета бесконечное множество и относительно каждой из них время на планете идет по разному. Система отсчета - это соглашение о том как именно мы сводим воедино разрозненные приборные показание в единую систему описания, соглашения эти могут быть разными

А вот что увидят с ракеты, то есть объективные приборные показания - вот тут ответ будет совершенно однозначным и от выбора систем отсчета не зависящим. Хоть в любой из систем отсчета относительно которых ракета покоится вы будете это рассчитывать, хоть в любой относительно которых она двигается.

MichaelV в сообщении #1295487 писал(а):

Есть контрольная точка - отсчет таймеров для всех начинается в один момент времени. Выкидывать ее никак нельзя

Если при этом они все не находятся в одном и том же месте, то "в один момент времени" это как раз вопрос выбора того или иного соглашения. Если по одному соглашению условились считать что они "в один момент времени" выставлены на ноль, то по другому соглашению это уже окажется не одновременным.

Задайтесь не декларацией про "один момент времени" а конкретным техническим механизмом реализующим старт всех часов - вот тогда ваше условие не будет зависеть от соглашений, станет объективно однозначным

[Cos(x-pi/2)]

MichaelV в сообщении #1295487 писал(а):

тему можно закрывать.

Подождите, пожалуйста, не закрывайте тему. Сейчас я допечатаю сюда конкретный и довольно простой ответ на вопрос

MichaelV в сообщении #1295487 писал(а):

У меня был вопрос не про замедление времени на ракете, а про замедление времени на планетах в системе ракеты. <...>
Как из него получить вывод "Корабль наблюдает замедление времени на Земле"?

[Cos(x-pi/2)]

Давайте вернёмся к более простому этапу движения корабля - к полёту после разгона, уже без ускорения. Тогда нам не придётся возиться с таблицей чисел, всё легко сосчитается в общем виде. Чертеж этого этапа раньше здесь уже был нарисован. Теперь я только добавил туда изображение двух световых сигналов, посылаемых с Планеты навстречу кораблю (красные линии на рис.) и, соответственно, изображены два события, наблюдаемые на корабле Капитаном корабля:

$C_0$ - приём кораблём сигнала, испущенного Планетой в событии "П",
$C_1$ - приём кораблём сигнала, испущенного Планетой позднее, а именно через время $T=0.1$ года по часам Планеты.



Далее в рассуждении предполагается, что Капитан заранее договорился с учёными Планеты, что интервал времени между отправкой сигналов на Планете составит именно эту величину: $T=0.1;$ и что корабль на этапе приёма сигналов будет лететь к Планете именно с заданной постоянной скоростью $v$ (в нашем примере $v=0.8$ в единицах с $c=1).$

Приняв в корабле оба сигнала (на рис. это события $C_0$ и $C_1),$ Капитан прямо по часам корабля видит интервал времени $\Delta t'$ между этими событиями.

А затем Капитан делает два несложных расчёта:

1. Один раз по величине $\Delta t'$ с учётом заранее известной $v$ он вычисляет, каким должен был быть интервал времени между отправкой сигналов на Планете, если считать, что время на корабле и планетах течёт одинаково (т.е. если предполагать, что СТО не работает - время идёт одинаково во всех системах отсчёта); результат этого расчёта обозначим $T_{\text{ без СТО}}.$

2. Второй раз Капитан по той же измеренной им величине $\Delta t'$ с учётом заранее известной $v$ вычисляет интервал времени между отправкой сигналов на Планете, пользуясь СТО. (Чтобы не плодить новых обозначений, мы обозначим результат этого расчёта сразу как $T,$ потому что мы с вами не сомневаемся в справедливости СТО, и знаем, что этот расчёт Капитана должен дать ту самую заранее условленную величину $T.$ Ну, а Капитан, выполнив расчёт по СТО, сам убедится: мол, да, получается то самое $T=0.1.)$

Наконец, сравнив $T_{\text{ без СТО}}$ и $T,$ Капитан узнает, есть или нет замедление времени на Планете: если окажется, что $T_{\text{ без СТО}}$ меньше, чем $T,$ то замедление времени на Планете относительно времени корабля явно есть.



Итак, ставим себя на место Капитана и приступаем к расчётам. Тут только есть один нюанс: интервал $\Delta t',$ который Капитан видит прямо по часам корабля, нам-то придётся вычислить из указанного выше чертежа, изображающего полёт. Но это не страшно, это же лёгкая школьная задачка.

Уравнение прямой мировой линии, изображающей полёт корабля на указанном чертеже, очевидно, есть: $x=vt.$ Уравнение красной линии, проходящей через $C_0$ есть $x=l_{\text{П}}-ct,$ где $l_{\text{П}}=0.8$ св. года - расстояние между Землёй и Планетой. Эти два уравнения образуют систему уравнений для мировых координат события $C_0.$ Решив её, находим временную координату события $C_0:$

$t_0=\dfrac{l_{\text{П}}}{v+c}.$

Аналогично, уравнение второй красной линии есть $x=l_{\text{П}}-c(t-T),$ где T - интервал времени на Планете между отправкой сигналов. Вместе с уравнением ракеты $x=vt$ это уравнение даёт нам систему для нахождения мировых координат события $C_1.$ Решив её, имеем временную координату события $C_1:$

$t_1=\dfrac{l_{\text{П}}+cT}{v+c}.$

Разность этих значений обозначим как $\Delta t:$

$\Delta t = t_1-t_0 = \dfrac{1}{1+v/c}\,T\,.$

Аналогично можем найти разность $x$-координат, и вычислить интервал собственного времени корабля $\Delta t'$ между событиями $C_0$ и $C_1$ из формулы СТО $(c\Delta t')^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2;$ получится тот же результат, что и по формуле

$\Delta t' = \Delta t \, \sqrt{1-(v/c)^2}.$

Подставив сюда выписанное выше выражение для $\Delta t,$ получаем:

$\Delta t ' = \sqrt{\dfrac{1-v/c}{1+v/c}}\,T.$

Это есть тот интервал времени между событими $C_0$ и $C_1,$ который видит по своим часам Капитан корабля. (Эта формула в СТО описывает для данного примера релятивистский эффект Доплера; она автоматически учитывает и обычный эффект Доплера, и релятивистское изменение времени).

Капитан действует "согласно ранее утверждённому плану":

1. Предполагая, что СТО не работает, Капитан принимает измеренный им интервал времени $\Delta t'$ за тот же самый интервал времени $\Delta t,$ который имеется между событиями $C_0$ и $C_1$ в системе покоя Планеты: $\Delta t'=\Delta t.$ Найдя так же, как мы, выражение для $\Delta t$ и полагая в нём в роли $T$ ещё пока неизвестную величину $T_{\text{ без СТО}},$ Капитан пишет:

$\Delta t'= \dfrac{1}{1+v/c}\,T_{\text{ без СТО}}\,.$

2. Предполагая же, что СТО верна, Капитан для той же измеренной им величины $\Delta t'$ пишет формулу, учитывающую релятивистский эффект Доплера:

$\Delta t ' = \sqrt{\dfrac{1-v/c}{1+v/c}}\,T.$

Затем он из этих формул с известными значениями $\Delta t'$ и $v$ находит значения $T_{\text{ без СТО}}$ и $T,$ и убеждается, что совпадает с зараненее условленным интервалом между отправкой сигналов на Планете именно $T,$ а величина $T_{\text{ без СТО}}$ получается меньше правильной:

$T_{\text{ без СТО}}=\sqrt{1-(v/c)^2}\,T.$

Это и есть описание замедления времени на Планете с точки зрения корабля. Как видим, замедление времени на Планете по отношению к часам корабя описывается тем же самым "релятивистским корнем", каким и замедление часов корабля по отношению к Планете или Земле.

(Ну, вроде разжевал всё до мелочей. Если будет у ТС желание проверить всё "в программе" или ещё как-то, то вот для сравнения численные ответы в этом примере с указанными на рис. событиями: $\Delta t=1/18,$ $\Delta t'=1/30,$ $T_{\text{ без СТО}}=0.06,$ $T=0.1.)$