Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?

[dmd]

По следам сообщения обнаруживается "бесполезная" параметризация, превращающая геронов треугольник в отрезок с площадью $s=0$, но при этом все три медианы становятся натуральны:

$a=2(u^2-v^2),b=2(u^2 v^2-1),c=2(u^2-v^2+u^2 v^2-1)$

Быть может эту задачу так и надо решать - от противного: "Пусть медианы натуральны, тогда неизбежно геронов треугольник вырождается в отрезок", и показать это. Хотя возможно всё равно будет очень сложно, так как обычно все трёхмерные задачи непросты. У меня ни как не получается подобрать параметризацию, делающую хотя бы одну медиану натуральной.

[scwec]

dmd, параметризация, дающая три целых стороны и три целых медианы (площади как получится):
$a=18m^5-18m^4n+52m^3n^2+12m^2n^3+2mn^4-2n^5$,
$b =18m^5+18m^4n+52m^3n^2-12m^2n^3+2mn^4+2n^5$,
$c=36m^5-40m^3n^2-12mn^4$,
$m_a =27m^5+9m^4n-18m^3n^2+26m^2n^3+3mn^4+n^5$,
$m_b =27m^5-9m^4{n}-18m^3n^2-26m^2n^3+3mn^4-n^5$,
$m_c = 54m^4n+20m^2n^3-2n^5$.
Параметризация не исчерпывающая.
Возможно, Вам она не встречалась и может оказать помощь.

[Sandor]

dmd. Приведенные формулы сторон треугольников Герона частные (смотрите стр.1). По ним судить, делать общие выводы не представляется возможным.
Если площадь треугольника Герона равна нулю, то значения двух медиан тоже нулевые.
Решая задачу от противного, возможны три исхода:
- искомый треугольник Герона существует,
- искомый треугольник Герона существует, но «вырождается в отрезок»,
-искомый треугольник Герона не существует. При трёх натуральных медианах площадь или хотя бы одна сторона треугольника ненатуральна.
Доказательство от противного не проще прямого, так как необходимо решать сходные диофантовы уравнения.

scwec.
«параметризация, дающая три целых стороны и три целых медианы (площади как получится)»
Если по приведенной параметризации получается и натуральное значение площади, то дилемма существования треугольника с целыми сторонами, медианами и площадью решена. В противном случае треугольник не героновый, и проблема остаётся открытой. Если имеется пример, прошу, приведите.

С уважением: Sándor

[dmd]

scwec
"как получится" пока не получается - проверил параметры до значений 30000, выражение для квадрата площади не становится полным квадратом. А как Вы подбирали эту параметризацию и почему именно однородным полиномом пятой степени?

-- Ср июл 04, 2012 14:46:52 --

dmd в сообщении #591651 писал(а):

У меня ни как не получается подобрать параметризацию, делающую хотя бы одну медиану натуральной.

Конечно, при условии натуральности площади!

[scwec]

dmd, указанную параметризацию придумал Л.Эйлер (1779 г). Не думаю, чтобы там где-то получилась натуральная площадь.
Это даже, по-моему, доказано.
По поводу героновых треугольников - есть параметризация Шуберта (1905 г), которая дает все героновы треугольники с не менее чем одной целой медианой. Ну а насчет трех - так это вопрос открытый.
Лучше почитать по этому поводу обширнейшую литературу (есть в сети) на английском языке. На русском практически ничего нет.
Например, Ralph H. Buchholz "On Triangless with rational altitudes, angle bisectors or medians" 1999 г.

[dmd]

У Buchholz приведена параметризация, которая две медианы делает явно натуральными, но площадь тоже "как получится", и видимо получается как-то через анализ остатков по некоторым модулям. К сожалению, не смог разобраться и проверить.

$a = 2 (-2 p q u^2 + (2 p q - p^2 + q^2) u v + (q^2 - p^2) v^2)$
$b = 2 ((p - q) q u^2 + (q + p) 2 p u v + (q - p) q v^2)$
$c = 2 ((p + q) q u^2 + (2 p q - p^2 + q^2) u v + (p - q) p v^2)$

[scwec]

Насколько я понимаю, дело с параметризацией, приведенной Бухгольцем, обстоит так: она содержит все целочисленные треугольники с двумя целыми медианами, в том числе и героновы.
Бухгольц пытался выделить из неё героновы треугольники, сводя дело к эллиптическим кривым. При двух соотношениях между параметрами ему это удалось, но на полученных кривых оказалось конечное число рациональных точек и 4-я часть у него заканчивается фразой:
вопрос о существовании бесконечного числа треугольников герона с двумя целыми медианами остается открытым.
В другой работе позже он (с соавтором) этот вопрос закрыл, доказав, что существует бесконечное семейство таких треугольников.

[Sandor]

«Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?»

Открытая проблема «Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью?» рассматривается повторно. Её решение требует исследования треугольников Герона. Их свойства определяет уравнение Герона, решение которого актуально 2000 лет. Проблема состоит из двух проблем:
1. Представление треугольников Герона явными формулами?
2. Решение дилеммы существования треугольников Герона с тремя целочисленными медианами?

Решение первой проблемы

Первая проблема состоит в сложности решения диофантова уравнения Герона:

$$\[w^2 = p(p - x)(p - y)(p - z) = V_1 V_2 V_3 V_4 ,\]$$

$\[{\text{x}}{\text{,y}}{\text{,z}} - \]$ стороны, $\[w - \]$ площадь, $\[{\text{p}} -\]$ полупериметр треугольника Г, $\[(V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 ) = d \geqslant 1 -\]$ подборные значения сомножителей уравнения. Известны формулы, оглашённые общими, фактически частные, полученные методами геометрии, без учёта свойств диофантов уравнения Герона!
Запишем неявные формулы решения уравнения: $$\left\{ \begin{gathered} p = V_1 , \hfill \\ p - x = V_2 \hfill \\ p - y = V_3 \hfill \\ p - z = V_4 \hfill \\ \end{gathered} \right.,$ $p = V_1 = \frac{{x + y + z}} {2},x = V_1 - V_2 ,y = V_1 - V_3 ,z = V_1 - V_4 ,V_1 > V_2 ,V_3 ,V_4 .$$

Проблему составляет подбор значений сомножителей $\[V_1 V_2 V_3 V_4 \]$ уравнения: $\[ w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = V_2 + V_3 + V_4 .\]$

Тайну диофантова уравнения Герона (Г) кроет общая тайна треугольников Г и треугольников Пифагора (П)! Его решение требует ввода внешней информации, обеспечивающей алгоритм подбора значений $\[V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 .\]$

Существуют элементарные и сложные треугольники Г. Элементарный треугольник Г – заодно треугольник П. Сложный треугольник Г – сумма или разность двух треугольников П с общим катетом (компонентные треугольники). Ибо сумма и разность сторон и площадей треугольников П целочисленная! Треугольники П исходят из пары чисел, следовательно, и треугольники Г (компонентные треугольники П взаимно обусловлены). Набор пары чисел одноразовый и бесконечный, поэтому набор треугольников П и треугольников Г тоже одноразовый и бесконечный!

Доказательство:

Треугольник Г – треугольник с целочисленными сторонами и площадью. Этим требованиям отвечают треугольники П, также суммы и разности компонентных треугольников П. Значит, требуется доказать отсутствие треугольников Г получаемых по иному.

Рассмотрим общий треугольник. Он имеет силу для любого треугольника. Его внутренняя высота делит его на два прямоугольных треугольника. Необходимо доказать, что для треугольников Г это треугольники П или из них исходящие.

Значение внутренней высоты $\[h_z \]$ треугольника Г со сторонами $\[x,y,z -\]$ рациональное, исходя из формулы: $ \[h_z = \frac{{2w}}{z}.\]$ Рациональные также отрезки основания $\[z = z_1 + z_2 \]$ . Для доказательства от противного, предположим, что $ \[z_1 = \sqrt t ,z_2 = z - \sqrt t \]$ иррациональные числа, где $\[t\]$ не квадрат рационального числа.

Согласно теореме П, для дополнительного прямоугольного треугольника имеем: $\[h_z^2 + z_2^2 = y^2 ,h_z^2 + \left( {z - \sqrt t } \right)^2 = y^2 ,\sqrt t = \frac{{\left( {z^2 - y^2 + h_z^2 + t} \right)}}{{2z}}.\]$

Мы пришли к противоречию: иррациональные и рациональные числа не равны. Значит $\[h_z = \frac{p}{q},z_1 = \frac{{p_1 }}{{q_1 }},z_2 = \frac{{p_2 }}{{q_2 }} - \]$ рациональные числа, где $\[\left( {p,q} \right) = \left( {p_1 ,q_1 } \right) = \left( {p_2 ,q_2 } \right) = 1.\]$
Запишем уравнения компонентных прямоугольных треугольников:

$$\[\left( {\frac{p}{q}} \right)^2 + \left( {\frac{{p_1 }}{{q_1 }}} \right)^2 = x^2 ,\left( {pq_1 } \right)^2 + \left( {p_1 q} \right)^2 = \left( {xqq_1 } \right)^2 ,\left( {\frac{p}{q}} \right)^2 + \left( {\frac{{p_2 }}{{q_2 }}} \right)^2 = y^2 ,\left( {pq_2 } \right)^2 + \left( {p_2 q} \right)^2 = \left( {yqq_2 } \right)^2 .\]$$

Тройка чисел $\[\left( {pq_1 ,p_1 q,xqq_1 } \right),\left( {pq_2 ,p_2 q,yqq_2 } \right) - \]$ пифагоровы тройки. Следовательно, стороны треугольника $\[x,y,z\]$ получены из двух треугольников П $\[\left( {pq_1 } \right)^2 + \left( {p_1 q} \right)^2 = \left( {xqq_1 } \right)^2 ,\left( {pq_2 } \right)^2 + \left( {p_2 q} \right)^2 = \left( {yqq_2 } \right)^2 \]$ – необязательно примитивных – умножением их сторон числами $\[\frac{1}{{qq_1 }},\frac{1}{{qq_2 }}\]$ соответственно.

Следовательно, сложные треугольники Г состоят из двух компонентных треугольников П, или из них исходящих, других не существует! Их получаем сложением и вычитанием компонентных треугольников. Вскрытая информация преподносит алгоритм решения диофантова уравнения Герона.

Итак, существует пять видов треугольников Г:

- элементарные ТГ, собственно, треугольники П: $\[x_1 ,y_1 ,z_1 ,(x_{2j} ,y_{2j} ,z_{2j} ),(x_{2i} ,y_{2i} ,z_{2i} ) \]$,
- сумма ТП с общим чётным катетом, ТГ $\[x,y,z,\]$ где $\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = y_1 + y_{2j} , \]$
- разность ТП с общим чётным катетом, ТГ $\[x,y,z,\]$ где $\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = \left| {y_1 - } \right.\left. {y_{2j} } \right|,\]$
- сумма ТП с общим нечётным катетом, ТГ $\[x,y,z,\]$ где $\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = x_1 + x_{2i} , \]$
- разность ТП с общим нечётным катетом, ТГ $\[x,y,z,\]$ где $\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = \left| {x_1 - } \right.\left. {x_{2i} } \right|.\]$

( Рисунок: http://www.szijjartosandor.hu , стр. 252).

Определение компонентных треугольников П

Определение исходных треугольников П

Исходные треугольники П генерирует уравнение Пифагора: $\[x_1^2 = z_1^2 - y_1^2 ,x_1 = 2U_1 U_2 ,y_1 = U_2^2 - U_1^2 ,z_1 = U_2^2 + U_1^2 ,\]$ где $\[(U_1 ,U_2 ) = d \geqslant 1\]$.

Набор $\[U_1 U_2 \]$ одноразовый и бесконечный, поэтому набор треугольников П и треугольников Г тоже одноразовый и бесконечный!

Определение треугольников П, исходящих из чётного катета исходного треугольника П

Дополнительные треугольники Пифагора $\[x_{2j}^2 = z_{2j}^2 - y_{2j}^2 \]$ генерирует уравнение Пифагора, исходя из чётного катета $\[x_1 = 2U_1 U_2 \]$ исходного треугольника П:

$$\[x_1 = 2U_1 U_2 = 2\sqrt {U_1^2 U_2^2 } = x_{2j} = 2k\sqrt {\Psi _{1j} \Psi _{2j} } ,\]$$

при $\[ \Psi _{2j} > \Psi _{1j} ,(k,\Psi _{1j} ,\Psi _{2j} ) = d \geqslant 1.\]$ $\[k,\Psi _{1j} ,\Psi _{2j} - \] $ тройки чисел, получаемые факторизацией $\[U_1^2 U_2^2 :\]$

$$\[U_1 U_2 = \sqrt {U_1^2 U_2^2 } = k\sqrt {\Psi _{11} \Psi _{21} } = \cdot \cdot \cdot = k\sqrt {\Psi _{1j - 1} \Psi _{2j - 1} } = k\sqrt {\Psi _{1j} \Psi _{2j} } ,\]$$

где $\[j -\]$ номер пары $\[\Psi _1 \Psi _2 \]$ , $\[k - \]$ коэффициент подобия треугольников.

Определение дополнительных треугольников П:

$$\[x_{2j} = 2k\sqrt {\Psi _{1j} \Psi _{2j} } ,y_{2j} = k\left( {\Psi _{2j} - \Psi _{1j} } \right),z_{2j} = k\left( {\Psi _{2j} + \Psi _{1j} } \right).\]$$

Число треугольников П, исходящих из чётного катета исходного треугольника П, определяется свойствами факториального разложения $\[U_1^2 U_2^2\]$ .

Определение треугольников П, исходящих из нечётного катета исходного треугольника П

Дополнительные треугольники Пифагора $\[x_{2i}^2 = z_{2i}^2 - y_{2i}^2 \]$ генерирует уравнение Пифагора, исходя из нечётного катета $\[y_1 = U_2^2 - U_1^2 \]$ исходного треугольника П.

$$\[ y_1 = U_2^2 - U_1^2 = Q = \sqrt {Q^2 } = k\sqrt {Q_{1i} Q_{2i} } = y_{2i} ,\]$$

при $\[Q_{2i} > Q_{1j} ,(k,Q_{1i} ,Q_{2i} ) = d \geqslant 1\]$ . $\[k,Q_{1i} ,Q_{2i} - \]$ тройки чисел, получаемые факторизацией $\[Q^2 :\]$

Определение треугольников Г

Определение треугольников Г, исходящих из чётного катета исходного треугольника П, сложением и вычитанием компонентных треугольников

Сложные треугольники Г получаем сложением и вычитанием треугольников П: $\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = |y_1 \pm y_{2j} |,\]$

$$\[x = U_2^2 + U_1^2 ,y = z_{2j} = k\left( {\Psi _{2j} + \Psi _{1j} } \right),z = |U_2^2 - U_1^2 \pm k(\Psi _{2j} - \Psi _{1j} )|.\]$$

Подстановкой значений переменных $x,y,z$ в исходные формулы, получаем:

$$w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = p = \frac{{x + y + z}}{2},V_2 = V_1 - x,V_3 = V_1 - y,V_4 = V_1 - z,$$

$$\[w = \frac{{|x_1 y_1 \pm x_{2j} y_{2j} |}}{2} = U_1 U_2 \left[ {\left| {U_2^2 - U_1^2 \pm k(\Psi _{2j} - \Psi _{1j} \left. ) \right|} \right.} \right].\]$$

Определение треугольников Г, исходящих их нечётного катета исходного треугольника П, сложением и вычитанием компонентных треугольников

Сложные треугольники Г получаем сложением и вычитанием треугольников П: $\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = |x_1 \pm x_{2i} |\]$

$$\[x = z_1 = U_2^2 + U_1^2 ,y = z_{2i} = k\frac{{Q_{2i} + Q_{1i} }}{2},z = x_1 \pm x_{2i} = \frac{{|4U_1 U_2 \pm k(Q_{2i} - Q_{1i} )|}}{2}\]$$

Подстановкой значений переменных $x,y,z$ в исходные формулы, получаем:

$$w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = p = \frac{{x + y + z}}{2},V_2 = V_1 - x,V_3 = V_1 - y,V_4 = V_1 - z,$$

$$\[w = \frac{{|x_1 y_1 \pm x_{2i} y_{2i} |}}{2} = (U_2^2 - U_1^2 )\frac{{|4U_1 U_2 \pm (Q_{2i}^2 - Q_{1i}^2 )|}}{4}\]$$

Решение второй проблемы

Две стороны примитивных треугольников Г нечётные, одна чётная. Ибо при одной, или трёх нечётных сторонах значение площади треугольников – исходя из уравнения Герона – ненатуральное. Сокращение сторон на нечётные делители на чётность сторон не влияет. А сокращение на наибольший чётный делитель приводит к треугольнику с двумя нечётными и одной чётной стороной. Исходя из формул медиан, не существует примитивных треугольников Г с тремя целочисленными медианами. Поэтому необходимо исследовать чётно-подобные треугольники Г и доказать существование одной иррациональной медианы. Решение второй проблемы предполагает решения первой.

Отрицательное доказательство дилеммы существования треугольника с целочисленными сторонами, медианами и площадью.

Рассмотрим треугольник Г со сторонами $x,y,z$, медианами $m_x ,m_y ,m_z $, высотой $h_z $ и соответственно равными высотами $\frac{{h_z }}{2}$ половинных треугольников при основании $z$. Высоты $\frac{{h_z }}{2}$ делят половинные треугольники на два прямоугольных треугольника, один из которых треугольник П по подобию с исходным, соответственно с дополнительным компонентным треугольником П.

Существуют треугольники Г с двумя целочисленными медианами. Допустим – это медианы $m_y ,m_z $ . Необходимо доказать иррациональность медианы $m_x $ .

Треугольник с гипотенузой $m_y $ – треугольник Г (его стороны и площади целочисленные). Следовательно, он состоит из компонентных треугольников П. Медиана $m_y$ – заодно гипотенуза треугольника П – целочисленная по допущению. Треугольник с гипотенузой $m_x $ состоит из треугольника П и компонентного прямоугольного треугольника. Половинные треугольники при основании $z$ имеют общее основание, равные высоты, следовательно, одинаковые площади. Однако треугольник с гипотенузой $m_x $ не треугольник Г. Ибо набор чисел $\[U_1 U_2 \]$, следовательно, набор треугольников П и треугольников Г одноразовый и бесконечный. Поэтому не существует двух разных треугольников Г с указанными общими параметрами. Значит треугольник с гипотенузой $m_x $ не треугольник П, его гипотенуза – заодно медиана $m_x $ – иррациональная. Целочисленное значение медианы $m_y \left( {m_z } \right)$ взаимно исключает рациональное значение медианы $m_x \left( {m_y } \right)$ , так как треугольник с иррациональной гипотенузой не станет пифагоровым и в подобном треугольнике Г.

Пример: $x = 52,y = 102,z = 146,$, $m_x = 4\sqrt {13 \cdot 73} ,m_y = 97,m_z = 35,w = 1680 $

[Sandor]

В последнем сообщении формула площади треугольника Г приведена с ошибкой. Формулу правильно необходимо писать:

$$\[w = \frac{{|x_1 y_1 \pm x_{2i} y_{2i} |}}{2} = (U_2^2 - U_1^2 )\frac{{|4U_1 U_2 \pm (Q_{2i} - Q_{1i} )|}} {4}.\]$$

Приношу извинения.

[Sandor]

Уточнение посленего абзаца доказательства!

Треугольник со стороной $m_y $ – треугольник Г (его стороны и площадь целочисленные). Он состоит из компонентных треугольников П. Медиана $m_y $ – заодно гипотенуза треугольника П – целочисленная по допущению (в противном случае доказательство иррациональности $m_x $ напрасное). Треугольник со стороной $m_x $ состоит из треугольника П и компонентного прямоугольного треугольника. Половинные треугольники при основании $z$ имеют общее основание, равные высоты, значит одинаковые площади. Однако треугольник со стороной $m_x $ не треугольник Г. Ибо набор чисел $\[U_1 U_2 \]$ , следовательно, набор треугольников П и треугольников Г одноразовый и бесконечный. Поэтому не существует двух разных треугольников Г с указанными общими параметрами. Значит треугольник с гипотенузой $m_x $ не треугольник П, его гипотенуза – заодно медиана $m_x $ – иррациональная. Целочисленное значение медианы $m_y \left( {m_z } \right)$ взаимно исключает рациональное значение медианы $m_x \left( {m_y } \right)$ , так как прямоугольный треугольник с иррациональной гипотенузой не станет пифагоровым и в подобном треугольнике Г.

Приношу извинения.

[scwec]

dmd в сообщении #591651 писал(а):

У меня ни как не получается подобрать параметризацию, делающую хотя бы одну медиану натуральной.

Вот параметризация, которая дает героновы треугольники с не менее чем одной целой медианой.
$a=k^4+4k^3+8k^2+4k+1$,
$b=(k^2-1)(k^2+k+1)$,
$c=(k+2)(2k+1)(k^2+1)$,
$S=k(k^2-1)(k+2)(2k+1)(k^2+k+1)$.
$a,b,c,S$ - длины сторон и площадь геронова треугольника, $k$ рациональное число.
При этом медиана $m_c=k(5k^2+8k+5)/2$.
В случае натурального $k$ площадь треугольника целое число, медиана $m_c$ и стороны треугольника имеют целую длину.
Получаемые треугольники не прямоугольные и не равнобедренные (этот случай неинтересен).
Параметризация получена как побочный результат при рассмотрении некоторого семейства эллиптических кривых,
имеющих ранг$>1$.

[Sandor]

Параметризация даёт, вероятно, часть треугольников Герона с минимально одной целой медианой. Привожу пример треугольника Герона с вопросным значением k:
$a = 102,b = 52,c = 146,m_a = 97,m_b = 4\sqrt {13 \cdot 73} ,m_c = 35,S = 1680.$

С уважением: Sándor

[L''_AAQC_ORTEA]

Geometry solution: We have that $m_a = (2b^2 + 2c^2 - a^2)/4$, $m_b = (2a^2+2c^2-b^2)/4$ and $m_c = (2a^2 + 2b^2 - c^2)/4$ , but $m_a$, $m_b$, $m_c$ are integers, it mean that 4 is a divisor of $(2b^2 + 2c^2 - a^2)$, $(2a^2+2c^2-b^2)$, $(2a^2 + 2b^2 - c^2)$, from that we have that 4 is divisor of
$(2a^2 + 2b^2 - c^2) + (2b^2 + 2c^2 - a^2) + (2a^2+2c^2-b^2) = 3(a^2 + b^2 +c^2)$, but $(3,4)=1$, it mean that 4 is a divisor of $(a^2 + b^2 + c^2)$.
Now a, b, c are integers.
$1^2 = 1 \mod 4$
$2^2 = 0 \mod 4$
$3^2 = 1 \mod 4$
$4^2 = 0 \mod 4$
..
$n^2 = 1 \mod 4 $ but sum of three numbers that are 1 and 0, it cant be 4, it mean that 4 is divisor of $a$,$b$,$c$ => $a = 4a_1$, $b = 4b_1$, $c = 4c_1$. It mean that we must get a triangle with $a_1$, $b_1$, $c_1$ sides, that his square, medians and sides are integer, but it is our problem and we can do the same a lot of times, which mean that there isnt a traingle with integer sides, square and medians.

[Sandor]

Здравствуйте!

Вы неверно приводите формулы медиан (без квадратных корней)!

Высше доказывается отсутствие треугольников Герона (следовательно, и треугольников Пифагора) с тремья целочисленными медианами.

При надобности, впредь пишите исключительно на русском языке!

С уважением: Sándor

GAA:

Sandor в сообщении #1295627 писал(а):

При надобности, впредь пишите исключительно на русском языке!

Нарушением является

Forum Administration в сообщении #27356 писал(а):

Ведение обсуждений на языке, отличном от русского и английского.

Участник имеет право писать в темах форума как на русском, так и на английском языке.
Последовавший оффтопик удалён.

 

[dmd]

В базовых героновых треугольниках с двумя натуральными медианами некоторые конкретные делители повторяются в сторонах и медианах. Появившись в медиане меньшего треугольника, делитель может повториться в стороне большего: MSE. Вряд ли оно случайность, какая-то закономерность имеет место быть.