Sandor, Вы находитесь в плену у своего доказательства и не можете примириться с тем, что
из равенства

вовсе не следует, что

и

.
Конечно,

,

,

,

,

определены в первом уравнении, так что с того?
Вы ведь утверждаете примерно следующее: если

и

,

, то

и

А ведь это вовсе не обязательно, хотя и возможно. На самом деле здесь нужно не связываться с разложением на множители, а имея ввиду, что
из второго уравнения следует

, доказывать невозможность правой части быть полным квадратом при неравенстве Ваших

и

.
Прошу Вас обходиться без подобных заключений: "Вы находитесь в плену у своего доказательства и не можете примириться с тем, что...", "Вы ведь утверждаете примерно следующее:.... - это сказка для детей. Вы не мой учитель, я не Ваш ученик! Ваше мнени так же доказуемо, как и моё, одно из возможных, не претендуйте на его истинность", "А ведь это вовсе не обязательно, хотя и возможно. Неверно! Два катета и прямой угол однозначно определяют гипотенузу треуголника, что ниже Вы и сами приводите верно, этим же опровергая своё предыдущее умозаключение": "На самом деле здесь нужно не связываться с разложением на множители, а имея ввиду, что из второго уравнения следует

, доказывать невозможность правой части быть полным квадратом. Так зачем же разлагали, упорствовали? А последнее тривиально, и так можно, но ...?! Прошу, докажите!"
Следовательно, выбор системы двух уравнений для доказательства отсутствия целочисленной медианы

у треугольников Пифагора не случайный. Система уравнений ставит обратный вопрос: у какого треугольника Пифагора медиана

может быть целочисленной. Ответ следует из решения системы: у треугольника Пифагора со сторонами

при

С уважением: Sándor