2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 13:41 
Заслуженный участник


01/06/15
974
С.-Петербург
Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):
Итак, мои выводы из темы:
Как "шпаргалку" при решении квадратных уравнений нужно запомнить, что равенство $\sqrt{4}=2$ верно лишь отчасти. Правильно оно выглядит как $\sqrt{4}=\pm 2$ (Кстати, это правильный символ "плюс-минус", или тут нужен другой код?)

С учётом вышеизложенного, будет ли верным равенство $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$ ? Или тут нужны оговорки и условия?
Вывод Вы сделали совершенно неверный! Равенство $\sqrt{4}=2$ верно "полностью". А равенства $\sqrt{4}=\pm 2$ и $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$, соответственно, ошибочны.

Комплексных чисел пока не касаемся - там сложнее. А над полем вещественных чисел знак $\sqrt$ - это знак арифметического квадратного корня. Для него всегда выполнено неравенство $\sqrt{x} \geqslant 0$, где $x$ - вещественное неотрицательное число. Поэтому в шпаргалку запишите: в уравнении $f(x)=\sqrt{g(x)}$ есть два дополнительных условия:
1) $f(x) \geqslant 0 $
2) $g(x) \geqslant 0 $
После этого можно возводить в квадрат. При этом включать в запись окончательного решения проверку подстановкой в исходное уравнение не обязательно. А вот проверка неравенств 1 и 2 - обязательный элемент решения.


Ну и пристроим куда-нибудь Ваш $\pm$:

$x^2 = a \qquad \Rightarrow \qquad x = \pm\sqrt{a}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 13:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
7104
Москва
(поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты к-на Очевидность):
У числа бывает лишь одно значение. Поэтому запись $\sqrt{4}=\pm 2$ не означает, что ответ равен сразу двум числам, а лишь, что уравнение $x^2=4$ имеет два корня, они совпадают по абсолютной величине и различаются знаками, и мы исключительно ради краткости записи не пишем $x_1=2$, $x_2=-2$, а ставим плюс-минус. То есть это не один ответ, а два разных. И поэтому ответ на вторую часть вопроса "нет". Если мы особо не оговорили, какое значение корня берём, мы не вправе ему что-то приравнивать. Если берём арифметическое значение - то равенство, очевидно, неверно, слева положительное, справа отрицательное. Если хотим рассматривать оба - рассматривайте по отдельности их.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 14:02 
Заслуженный участник


01/06/15
974
С.-Петербург
Евгений Машеров в сообщении #1294458 писал(а):
запись $\sqrt{4}=\pm 2$ не означает, что ответ равен сразу двум числам, а лишь, что уравнение $x^2=4$ имеет два корня
Такой записью (тем более в школе) лучше не пользоваться, поскольку с этим равенством нельзя выполнять однозначные тождественные алгебраические преобразования. Да и в черновиках я бы не советовал: через пару страниц забудете, что корень у вас не арифметический, а двузначный, и потеряете знак. Поэтому мой совет: при решении уравнения $x^2=4$ не пишите $x = \sqrt{4}= \pm 2$, а пишите $x=\pm\sqrt{4}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 14:26 
Аватара пользователя


19/02/13
1661
Вы уж не серчайте, я школу давно закончил, многое подзабыл, а любовь к точным наукам осталась. Периодически разминаю мозги. Я же не зря спросил:
Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):
будет ли верным равенство $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$ ? Или тут нужны оговорки и условия?

Глубины памяти подсказывали, что есть такие. И вот они:
Walker_XXI в сообщении #1294453 писал(а):
Поэтому в шпаргалку запишите: в уравнении $f(x)=\sqrt{g(x)}$ есть два дополнительных условия:
1) $f(x) \geqslant 0 $
2) $g(x) \geqslant 0 $

И под двойкой и четвёркой в "шпаргалке" я подразумевал не сами числа, а любые выражения, которые при решении уравнений встречаются. То есть что "четвёрку" можно получить не только возведением в квадрат "двойки", но и возведением в квадрат "минус двойки". Простите за неточную формулировку. Всех запутал, да и сам запутался :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1270
Антарктика
Vladimir-80
Меня больше всего поразило вот это
Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):
Правильно оно выглядит как $\sqrt{4}=\pm 2$

Хотя ранее Вы сами писали, что
Vladimir-80 в сообщении #1294102 писал(а):
очно, ведь результат извлечения квадратного корня тоже должен быть неотрицательным! :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 14:44 
Аватара пользователя


19/02/13
1661
Обычная проблема коммуникации людей в любой сфере. "Если ты что-то сказал - не факт, что тебя услышали так, как ты сказал, и поняли так, как ты задумал." Тут сто процентов моя вина. Я под "шпаргалкой" подразумевал концепцию, что называется "на пальцах", чтобы не забыть про возможность получить один и тот же квадрат из разных исходных - а получилось то, что получилось. Ещё раз извините и спасибо за обратную связь - моя "шпаргалка" оказалась негодной и могла завести меня в дебри невежества.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 15:20 


21/05/16
3265
Аделаида
Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):
что равенство $\sqrt{4}=2$ верно лишь отчасти.

Зависит от того, понимаете ли вы корень как арифметический или алгебраический. Арифмитический - строго 2, алгебраический - 2 или -2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 20:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
Пользоваться знаком $\pm$ стоит либо при большом опыте, либо в простых очевидных ситуациях. А в практической жизни (особенно в школе), где нужно действовать быстро, строго и без ошибок, лучше приучиться к другому подходу:
$$f^2=g^2\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left[\begin{aligned}f&=g \\ f&=-g\end{aligned}\right.$$ В частности, можно сформулировать и использовать такие следствия:
$$f^2=a\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left[\begin{aligned}f&=\sqrt{a}&\&\quad a\geqslant 0 \\ f&=-\sqrt{a}&\&\quad a\geqslant 0\end{aligned}\right.$$ $$f^2=g^2\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left[\begin{aligned}f&=|g| \\ f&=-|g|\end{aligned}\right.\qquad\Longleftrightarrow\qquad |f|=|g|$$ $$a=b\geqslant 0\qquad\Longleftrightarrow\qquad \sqrt{a}=\sqrt{b}\quad\&\quad a\geqslant 0\quad\&\quad b\geqslant 0$$ Дальше либо продолжается цепочка равносильных преобразований, либо подслучаи рассматриваются отдельно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Munin в сообщении #1294535 писал(а):
$$f^2=a\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left[\begin{aligned}f&=\sqrt{a}&\&\quad a\geqslant 0 \\ f&=-\sqrt{a}&\&\quad a\geqslant 0\end{aligned}\right.$$
Тут можно не добавлять $a\geqslant0$ к обеим альтернативам (а добавить его ко всей скобке), а ещё лучше даже вообще не упоминать здесь, т. к. пока $\sqrt a$ входит в утверждение, оно не может оказаться истинным, если $a<0$, и обычно такие высказывания с неопределёнными термами внутри считают даже конкретно ложными, а не неопределёнными; в таком случае отсутствие решений у $f^2 = -1$ при переходе к скобке будет очевидным — ни $\sqrt{-1}$, ни $-\sqrt{-1}$ быть равно $f$ не может, так как оба не определены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 22:06 


29/09/06
4552
Vladimir-80,

Вы, похоже неправильно понимаете смысл самого крючочка $\sqrt{\hphantom{x}}$.
Вы думаете, что $\sqrt{x}$ -- это число, которое, будучи возведённым в квадрат, даст $x$.
Но это было бы плохое определение -- ведь такое число не единственно!

Люди просто договорились, что крючочек в выражении $\sqrt{x}$ обозначает то неотрицательное число, которое, будучи возведённым в квадрат, даст $x$. Ежели кому-то понадобится именно отрицательное число, пусть пишет так$\text{:~~}{\color{magenta}\Large-}\sqrt{x}$.

Таким образом, утверждение, что всегда $\sqrt{x}\ge 0$, не есть некая теорема, оно не требует доказательства --- это просто договорённость.

Запись $y=\pm\sqrt{4}$ была бы немного дикой. Ну как это -- число одновременно равно +2 и -2? Но эта запись --- просто сокращение от $y_{1,2}=\pm\sqrt{x}$. Или от $\{y_1=\sqrt{x},\;y_2=-\sqrt{x}\}$.
Ну лень же писать эти индексы, да и некогда обычно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое уравнение: откуда лишний корень?
Сообщение26.02.2018, 22:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Я бы сказал, что (в контексте этой темы*) запись $y = \pm z$ — это сокращение от $y = +z\vee y = -z$.

* А то бывают ещё записи типа $h = (10{,}0\pm0{,}2)\text м$, так там это обозначение радиуса промежутка или вообще параметра распределения.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 26 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group