Простое уравнение: откуда лишний корень?

[Walker_XXI]

Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):

Итак, мои выводы из темы:
Как "шпаргалку" при решении квадратных уравнений нужно запомнить, что равенство $\sqrt{4}=2$ верно лишь отчасти. Правильно оно выглядит как $\sqrt{4}=\pm 2$ (Кстати, это правильный символ "плюс-минус", или тут нужен другой код?)

С учётом вышеизложенного, будет ли верным равенство $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$ ? Или тут нужны оговорки и условия?

Вывод Вы сделали совершенно неверный! Равенство $\sqrt{4}=2$ верно "полностью". А равенства $\sqrt{4}=\pm 2$ и $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$, соответственно, ошибочны.

Комплексных чисел пока не касаемся - там сложнее. А над полем вещественных чисел знак $\sqrt$ - это знак арифметического квадратного корня. Для него всегда выполнено неравенство $\sqrt{x} \geqslant 0$, где $x$ - вещественное неотрицательное число. Поэтому в шпаргалку запишите: в уравнении $f(x)=\sqrt{g(x)}$ есть два дополнительных условия:
1) $f(x) \geqslant 0 $
2) $g(x) \geqslant 0 $
После этого можно возводить в квадрат. При этом включать в запись окончательного решения проверку подстановкой в исходное уравнение не обязательно. А вот проверка неравенств 1 и 2 - обязательный элемент решения.


Ну и пристроим куда-нибудь Ваш $\pm$:

$x^2 = a \qquad \Rightarrow \qquad x = \pm\sqrt{a}$

[Евгений Машеров]

(поправляя фуражку прапорщика Ясненько, старшины роты к-на Очевидность):
У числа бывает лишь одно значение. Поэтому запись $\sqrt{4}=\pm 2$ не означает, что ответ равен сразу двум числам, а лишь, что уравнение $x^2=4$ имеет два корня, они совпадают по абсолютной величине и различаются знаками, и мы исключительно ради краткости записи не пишем $x_1=2$, $x_2=-2$, а ставим плюс-минус. То есть это не один ответ, а два разных. И поэтому ответ на вторую часть вопроса "нет". Если мы особо не оговорили, какое значение корня берём, мы не вправе ему что-то приравнивать. Если берём арифметическое значение - то равенство, очевидно, неверно, слева положительное, справа отрицательное. Если хотим рассматривать оба - рассматривайте по отдельности их.

[Walker_XXI]

Евгений Машеров в сообщении #1294458 писал(а):

запись $\sqrt{4}=\pm 2$ не означает, что ответ равен сразу двум числам, а лишь, что уравнение $x^2=4$ имеет два корня

Такой записью (тем более в школе) лучше не пользоваться, поскольку с этим равенством нельзя выполнять однозначные тождественные алгебраические преобразования. Да и в черновиках я бы не советовал: через пару страниц забудете, что корень у вас не арифметический, а двузначный, и потеряете знак. Поэтому мой совет: при решении уравнения $x^2=4$ не пишите $x = \sqrt{4}= \pm 2$, а пишите $x=\pm\sqrt{4}$.

[Vladimir-80]

Вы уж не серчайте, я школу давно закончил, многое подзабыл, а любовь к точным наукам осталась. Периодически разминаю мозги. Я же не зря спросил:

Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):

будет ли верным равенство $\sqrt{4}=-\sqrt{4}$ ? Или тут нужны оговорки и условия?

Глубины памяти подсказывали, что есть такие. И вот они:

Walker_XXI в сообщении #1294453 писал(а):

Поэтому в шпаргалку запишите: в уравнении $f(x)=\sqrt{g(x)}$ есть два дополнительных условия:
1) $f(x) \geqslant 0 $
2) $g(x) \geqslant 0 $

И под двойкой и четвёркой в "шпаргалке" я подразумевал не сами числа, а любые выражения, которые при решении уравнений встречаются. То есть что "четвёрку" можно получить не только возведением в квадрат "двойки", но и возведением в квадрат "минус двойки". Простите за неточную формулировку. Всех запутал, да и сам запутался

[thething]

Vladimir-80
Меня больше всего поразило вот это

Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):

Правильно оно выглядит как $\sqrt{4}=\pm 2$

Хотя ранее Вы сами писали, что

Vladimir-80 в сообщении #1294102 писал(а):

очно, ведь результат извлечения квадратного корня тоже должен быть неотрицательным!

[Vladimir-80]

Обычная проблема коммуникации людей в любой сфере. "Если ты что-то сказал - не факт, что тебя услышали так, как ты сказал, и поняли так, как ты задумал." Тут сто процентов моя вина. Я под "шпаргалкой" подразумевал концепцию, что называется "на пальцах", чтобы не забыть про возможность получить один и тот же квадрат из разных исходных - а получилось то, что получилось. Ещё раз извините и спасибо за обратную связь - моя "шпаргалка" оказалась негодной и могла завести меня в дебри невежества.

[kotenok gav]

Vladimir-80 в сообщении #1294449 писал(а):

что равенство $\sqrt{4}=2$ верно лишь отчасти.

Зависит от того, понимаете ли вы корень как арифметический или алгебраический. Арифмитический - строго 2, алгебраический - 2 или -2.

[Munin]

Пользоваться знаком $\pm$ стоит либо при большом опыте, либо в простых очевидных ситуациях. А в практической жизни (особенно в школе), где нужно действовать быстро, строго и без ошибок, лучше приучиться к другому подходу:

$$f^2=g^2\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left[\begin{aligned}f&=g \\ f&=-g\end{aligned}\right.$$

В частности, можно сформулировать и использовать такие следствия:

$$f^2=a\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left[\begin{aligned}f&=\sqrt{a}&\&\quad a\geqslant 0 \\ f&=-\sqrt{a}&\&\quad a\geqslant 0\end{aligned}\right.$$

$$f^2=g^2\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left[\begin{aligned}f&=|g| \\ f&=-|g|\end{aligned}\right.\qquad\Longleftrightarrow\qquad |f|=|g|$$

$$a=b\geqslant 0\qquad\Longleftrightarrow\qquad \sqrt{a}=\sqrt{b}\quad\&\quad a\geqslant 0\quad\&\quad b\geqslant 0$$

Дальше либо продолжается цепочка равносильных преобразований, либо подслучаи рассматриваются отдельно.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1294535 писал(а):

$$f^2=a\qquad\Longleftrightarrow\qquad\left[\begin{aligned}f&=\sqrt{a}&\&\quad a\geqslant 0 \\ f&=-\sqrt{a}&\&\quad a\geqslant 0\end{aligned}\right.$$

Тут можно не добавлять $a\geqslant0$ к обеим альтернативам (а добавить его ко всей скобке), а ещё лучше даже вообще не упоминать здесь, т. к. пока $\sqrt a$ входит в утверждение, оно не может оказаться истинным, если $a<0$, и обычно такие высказывания с неопределёнными термами внутри считают даже конкретно ложными, а не неопределёнными; в таком случае отсутствие решений у $f^2 = -1$ при переходе к скобке будет очевидным — ни $\sqrt{-1}$, ни $-\sqrt{-1}$ быть равно $f$ не может, так как оба не определены.

[Алексей К.]

Vladimir-80,

Вы, похоже неправильно понимаете смысл самого крючочка $\sqrt{\hphantom{x}}$.
Вы думаете, что $\sqrt{x}$ -- это число, которое, будучи возведённым в квадрат, даст $x$.
Но это было бы плохое определение -- ведь такое число не единственно!

Люди просто договорились, что крючочек в выражении $\sqrt{x}$ обозначает то неотрицательное число, которое, будучи возведённым в квадрат, даст $x$. Ежели кому-то понадобится именно отрицательное число, пусть пишет так$\text{:~~}{\color{magenta}\Large-}\sqrt{x}$.

Таким образом, утверждение, что всегда $\sqrt{x}\ge 0$, не есть некая теорема, оно не требует доказательства --- это просто договорённость.

Запись $y=\pm\sqrt{4}$ была бы немного дикой. Ну как это -- число одновременно равно +2 и -2? Но эта запись --- просто сокращение от $y_{1,2}=\pm\sqrt{x}$. Или от $\{y_1=\sqrt{x},\;y_2=-\sqrt{x}\}$.
Ну лень же писать эти индексы, да и некогда обычно.

[arseniiv]

Я бы сказал, что (в контексте этой темы*) запись $y = \pm z$ — это сокращение от $y = +z\vee y = -z$.

* А то бывают ещё записи типа $h = (10{,}0\pm0{,}2)\text м$, так там это обозначение радиуса промежутка или вообще параметра распределения.