Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.

[Ascold]

1)В книгах в той или иной форме постулируется, что, будучи ДУЧП первого порядка, уравнение

$$\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(t,q_1,..,q_s,\frac{\partial S}{\partial q_1},..,\frac{\partial S}{\partial q_s}\right) =0$$

имеет полный интеграл в виде

$$S=f(t,q_1,..,q_s, \ \alpha_1,..,\alpha_s,\alpha_{s+1}).$$

Где почитать, почему это так - я имею ввиду доказательство, что существует решение с числом констант $\alpha_i$, равных числу неизвестных?
2)Разделение переменных - Ландау и Лифшиц в 1 томе ищут решение, при условии записи уравнения Гамильтона-Якоби в форме (48.1), как сумму (48.2). А почему вообще так, почему не произведение, например?
Меня вообще этот момент в ММФ всегда напрягал - откуда авторы учебников заранее знают, как именно разделять переменные? В книгах наподобие Тихонова и Самарского этот вопрос вообще не обсуждается обычно, но там в конце получается конкретное решение, убеждающее в верности исходной предпосылки. Здесь же задача куда более абстрактна и по ходу рассуждений ничто не убеждает, что такой ход позволителен - "предположим, что решение (48.2) найдено" - пишут Ландау и Лифшиц...

[amon]

Ascold в сообщении #1293294 писал(а):

Где почитать, почему это так - я имею ввиду доказательство, что существует решение с числом констант $\alpha_i$, равных числу неизвестных?

Сейчас pogulyat_vyshel меня с землей сровняет, но удержаться не могу. По построению. Уравнение Гамильтона-Якоби - это уравнение на производящую функцию, которая из всех $p_i,q_i$ делает новые канонические переменные $P_i,Q_i,$ которые равны просто константам (а функция Гамильтона - ноль). Производящая функция, опять же "по определению", зависит от одной старой и одной новой переменной: $S(t,\mathbf{q}, \mathbf{Q})$ например. Эти $Q,$ которые константы, и есть ваши альфы.

[Ascold]

amon в сообщении #1293304 писал(а):

Ascold в сообщении #1293294 писал(а):

Где почитать, почему это так - я имею ввиду доказательство, что существует решение с числом констант $\alpha_i$, равных числу неизвестных?

Уравнение Гамильтона-Якоби - это уравнение на производящую функцию, которая из всех $p_i,q_i$ делает новые канонические переменные $P_i,Q_i,$ которые равны просто константам (а функция Гамильтона - ноль).

Правильно я понимаю, что $S$ совпадает с производящей функцией $\Phi$, потому что мы накладываем доп. условие на "новую" гамильтонову функцию $H'=0$ в соответствии с формулой(45.8) ЛЛ1?

[amon]

Мы можем получить уравнение Гамильтона-Якоби пытаясь решить такую задачу: "Найти производящую функцию преобразования, которое превращает канонические переменные в константы, не зависящие от времени". В этом случае функция Гамильтона будет независящей ни от чего константой, которую можно спокойно положить нулем (функция Гамильтона определена с точностью до аддитивной константы).

[pogulyat_vyshel]

Задача Коши

$$S_t+H(t,S,x,S_x)=0,\quad S\mid_{t=0}=\hat S(x),\quad S_x=(S_{x^1},\ldots,S_{x^m})$$

имеет решение локально по $t$. Это следует из метода характеристик, т.е. фактически из теоремы существования и единственности для ОДУ. Характеристиками являются уравнения типа Гамильтона, но с "трением" -- это если $H$ зависит от $S$, если нет -- то настоящие уравнения Гамильтона с гамильтонианом $H$.
Теперь возьмем $\hat S=\hat S(x,\alpha),\quad \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ так, что $\mathrm{det}\,\hat S_{x\alpha}\ne 0$. Тогда решение указанной задачи Коши $S=S(t,x,\alpha)$ обладает тем же свойством при малых $t$: $$\mathrm{det}\,S_{x\alpha}(t,x,\alpha)\ne 0$

[Ascold]

amon в сообщении #1293324 писал(а):

Мы можем получить уравнение Гамильтона-Якоби пытаясь решить такую задачу: "Найти производящую функцию преобразования, которое превращает канонические переменные в константы, не зависящие от времени". В этом случае функция Гамильтона будет независящей ни от чего константой, которую можно спокойно положить нулем

Пусть $f$ - производящая функция, $\alpha_i$=$\alpha_i(p_j,q_j)$ и $\beta_i$=$\beta_i(p_j,q_j)$ - новые канонические импульсы и координаты, значит,

$$df=p_idq_i+\beta_id\alpha_i-(H-H')dt,$$

поэтому
$\frac{\partial f}{\partial q_i}=p_i,\quad \frac{\partial f}{\partial \alpha_i}=\beta_i,\quad H'=H+\frac{\partial f}{\partial t}.$
Значит, $f=f(q_i,\alpha_i,t)$, а уравнения Гамильтона в координатах $\{\alpha_i,\beta_i\}$ будут $\frac{d\beta_i}{dt}=\frac{\partial H'}{\partial \beta_i}, \,\frac{d\alpha_i}{dt}=-\frac{\partial H'}{\partial \beta_i}.$
Если $\frac{d\beta_i}{dt}=\frac{d\alpha_i}{dt}=0,$ то $\frac{\partial H'}{\partial \beta_i}=\frac{\partial H'}{\partial \beta_i}=0,$ отсюда получается, что $H'(\alpha_i,\beta_i,t)=H'(t)\neq \operatorname{const}.$
Почему следует думать, что функция Гамильтона $H'$ не зависит от времени?

pogulyat_vyshel в сообщении #1293340 писал(а):

Задача Коши

$$S_t+H(t,S,x,S_x)=0,\quad S\mid_{t=0}=\hat S(x),\quad S_x=(S_{x^1},\ldots,S_{x^m})$$

имеет решение локально по $t$. Это следует из метода характеристик, т.е. фактически из теоремы существования и единственности для ОДУ. Характеристиками являются уравнения типа Гамильтона, но с "трением" -- это если $H$ зависит от $S$, если нет -- то настоящие уравнения Гамильтона с гамильтонианом $H$.

Я изучал диф. уравнения по учебникам Эльсгольца, а также Тихонова и Самарского, там теоремы существования и единственности рассматриваются без метода характеристик. Что лучше почитать про это, а также для понимания фразы "имеет решение локально по $t$."?

[amon]

Ascold в сообщении #1293426 писал(а):

Почему следует думать, что функция Гамильтона $H'$ не зависит от времени?

То что я тут вещаю ни в коем случае не должно рассматриваться как строгое доказательство. С другой стороны, IMHO, это удобное правдоподобное рассуждение, которое помогло мне лет сорок назад получить иллюзию понимания подноготной уравнения Гамильтона-Якоби.

Итак, пусть у нас "чистая" система без трения. Тогда от того, что я добавлю к функции Гамильтона $H(\mathbf{p},\mathbf{q},t)$ любую функцию $f(t),$ зависящую от времени, но не зависящую от канонических переменных, уравнения движения не изменятся. Т.е. $H$ определена с точностью до произвольной функции $f(t),$ и если у меня получилось $H(\mathbf{P},\mathbf{Q},t)=h(t),$ то с тем же успехом я могу написать $H=0.$ Можно посмотреть на это с другой стороны. Есть уравнение $\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(t,q_1,..,q_s,\frac{\partial S}{\partial q_1},..,\frac{\partial S}{\partial q_s}\right) =0.$ Вместо него напишем $\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(t,q_1,..,q_s,\frac{\partial S}{\partial q_1},..,\frac{\partial S}{\partial q_s}\right) =f(t).$ Тогда $S=S_0+\int f(t)dt,$ где $S_0$ - решение уравнения с нулевой правой частью. Если на $S$ смотреть как на производящую функцию, то от добавления к ней функции, зависящей только от времени ничего не меняется, поскольку интересуемся мы только производными этой функции по каноническим переменным. С третьей точки зрения, добавляя к $H$ функцию времени мы добавили к действию $\int pdq-Hdt$ полный дифференциал.

IMHO, на таком языке магические пассы с уравнением Гамильтона-Якоби становятся прозрачнее. Мы ищем производящую функцию, зависящую от $n$ старых и $n$ новых координат. Новые координаты - константы, отсюда таинственный полный интеграл. Производные по новым координатам это новые импульсы, которые тоже константы. Отсюда таинственное приравнивание производных другим константам. Есть еще сюжет, упомянутый уважаемым pogulyat_vyshel, связанный с тем, что уравнениями характеристик уравнения Гамильтона-Якоби будут (в рассматриваемом примитивном случае) уравнения Гамильтона, но тут я и так много наговорил.

[pogulyat_vyshel]

Ascold в сообщении #1293426 писал(а):

а также Тихонова и Самарского, там теоремы существования и единственности рассматриваются без метода характеристик. Что лучше почитать про это, а также для понимания фразы "имеет решение локально по $t$."?

Смирнов Курс высш математики том 4

[amon]

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1293454 писал(а):

Смирнов Курс высш математики

Ух ты! А я думал, что у математиков Владимир Иванович нынче совсем не котируется. Я тоже его хотел посоветовать, но постеснялся.