2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение19.02.2018, 20:32 


28/08/13
521
1)В книгах в той или иной форме постулируется, что, будучи ДУЧП первого порядка, уравнение $$\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(t,q_1,..,q_s,\frac{\partial S}{\partial q_1},..,\frac{\partial S}{\partial q_s}\right) =0$$ имеет полный интеграл в виде $$S=f(t,q_1,..,q_s, \ \alpha_1,..,\alpha_s,\alpha_{s+1}).$$
Где почитать, почему это так - я имею ввиду доказательство, что существует решение с числом констант $\alpha_i$, равных числу неизвестных?
2)Разделение переменных - Ландау и Лифшиц в 1 томе ищут решение, при условии записи уравнения Гамильтона-Якоби в форме (48.1), как сумму (48.2). А почему вообще так, почему не произведение, например?
Меня вообще этот момент в ММФ всегда напрягал - откуда авторы учебников заранее знают, как именно разделять переменные? В книгах наподобие Тихонова и Самарского этот вопрос вообще не обсуждается обычно, но там в конце получается конкретное решение, убеждающее в верности исходной предпосылки. Здесь же задача куда более абстрактна и по ходу рассуждений ничто не убеждает, что такой ход позволителен - "предположим, что решение (48.2) найдено" - пишут Ландау и Лифшиц...

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение19.02.2018, 20:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ascold в сообщении #1293294 писал(а):
Где почитать, почему это так - я имею ввиду доказательство, что существует решение с числом констант $\alpha_i$, равных числу неизвестных?
Сейчас pogulyat_vyshel меня с землей сровняет, но удержаться не могу. По построению. Уравнение Гамильтона-Якоби - это уравнение на производящую функцию, которая из всех $p_i,q_i$ делает новые канонические переменные $P_i,Q_i,$ которые равны просто константам (а функция Гамильтона - ноль). Производящая функция, опять же "по определению", зависит от одной старой и одной новой переменной: $S(t,\mathbf{q}, \mathbf{Q})$ например. Эти $Q,$ которые константы, и есть ваши альфы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение19.02.2018, 21:49 


28/08/13
521
amon в сообщении #1293304 писал(а):
Ascold в сообщении #1293294 писал(а):
Где почитать, почему это так - я имею ввиду доказательство, что существует решение с числом констант $\alpha_i$, равных числу неизвестных?
Уравнение Гамильтона-Якоби - это уравнение на производящую функцию, которая из всех $p_i,q_i$ делает новые канонические переменные $P_i,Q_i,$ которые равны просто константам (а функция Гамильтона - ноль).

Правильно я понимаю, что $S$ совпадает с производящей функцией $\Phi$, потому что мы накладываем доп. условие на "новую" гамильтонову функцию $H'=0$ в соответствии с формулой(45.8) ЛЛ1?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение19.02.2018, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Мы можем получить уравнение Гамильтона-Якоби пытаясь решить такую задачу: "Найти производящую функцию преобразования, которое превращает канонические переменные в константы, не зависящие от времени". В этом случае функция Гамильтона будет независящей ни от чего константой, которую можно спокойно положить нулем (функция Гамильтона определена с точностью до аддитивной константы).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение19.02.2018, 23:27 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Задача Коши
$$S_t+H(t,S,x,S_x)=0,\quad S\mid_{t=0}=\hat S(x),\quad S_x=(S_{x^1},\ldots,S_{x^m})$$ имеет решение локально по $t$. Это следует из метода характеристик, т.е. фактически из теоремы существования и единственности для ОДУ. Характеристиками являются уравнения типа Гамильтона, но с "трением" -- это если $H$ зависит от $S$, если нет -- то настоящие уравнения Гамильтона с гамильтонианом $H$.
Теперь возьмем $\hat S=\hat S(x,\alpha),\quad \alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_m)$ так, что $\mathrm{det}\,\hat S_{x\alpha}\ne 0$. Тогда решение указанной задачи Коши $S=S(t,x,\alpha)$ обладает тем же свойством при малых $t$: $$\mathrm{det}\,S_{x\alpha}(t,x,\alpha)\ne 0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение20.02.2018, 16:27 


28/08/13
521
amon в сообщении #1293324 писал(а):
Мы можем получить уравнение Гамильтона-Якоби пытаясь решить такую задачу: "Найти производящую функцию преобразования, которое превращает канонические переменные в константы, не зависящие от времени". В этом случае функция Гамильтона будет независящей ни от чего константой, которую можно спокойно положить нулем

Пусть $f$ - производящая функция, $\alpha_i$=$\alpha_i(p_j,q_j)$ и $\beta_i$=$\beta_i(p_j,q_j)$ - новые канонические импульсы и координаты, значит, $$df=p_idq_i+\beta_id\alpha_i-(H-H')dt,$$поэтому
$\frac{\partial f}{\partial q_i}=p_i,\quad \frac{\partial f}{\partial \alpha_i}=\beta_i,\quad H'=H+\frac{\partial f}{\partial t}.$
Значит, $f=f(q_i,\alpha_i,t)$, а уравнения Гамильтона в координатах $\{\alpha_i,\beta_i\}$ будут $\frac{d\beta_i}{dt}=\frac{\partial H'}{\partial \beta_i}, \,\frac{d\alpha_i}{dt}=-\frac{\partial H'}{\partial \beta_i}.$
Если $\frac{d\beta_i}{dt}=\frac{d\alpha_i}{dt}=0,$ то $\frac{\partial H'}{\partial \beta_i}=\frac{\partial H'}{\partial \beta_i}=0,$ отсюда получается, что $H'(\alpha_i,\beta_i,t)=H'(t)\neq \operatorname{const}.$
Почему следует думать, что функция Гамильтона $H'$ не зависит от времени?
pogulyat_vyshel в сообщении #1293340 писал(а):
Задача Коши
$$S_t+H(t,S,x,S_x)=0,\quad S\mid_{t=0}=\hat S(x),\quad S_x=(S_{x^1},\ldots,S_{x^m})$$ имеет решение локально по $t$. Это следует из метода характеристик, т.е. фактически из теоремы существования и единственности для ОДУ. Характеристиками являются уравнения типа Гамильтона, но с "трением" -- это если $H$ зависит от $S$, если нет -- то настоящие уравнения Гамильтона с гамильтонианом $H$.

Я изучал диф. уравнения по учебникам Эльсгольца, а также Тихонова и Самарского, там теоремы существования и единственности рассматриваются без метода характеристик. Что лучше почитать про это, а также для понимания фразы "имеет решение локально по $t$."?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение20.02.2018, 17:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
Ascold в сообщении #1293426 писал(а):
Почему следует думать, что функция Гамильтона $H'$ не зависит от времени?
То что я тут вещаю ни в коем случае не должно рассматриваться как строгое доказательство. С другой стороны, IMHO, это удобное правдоподобное рассуждение, которое помогло мне лет сорок назад получить иллюзию понимания подноготной уравнения Гамильтона-Якоби.

Итак, пусть у нас "чистая" система без трения. Тогда от того, что я добавлю к функции Гамильтона $H(\mathbf{p},\mathbf{q},t)$ любую функцию $f(t),$ зависящую от времени, но не зависящую от канонических переменных, уравнения движения не изменятся. Т.е. $H$ определена с точностью до произвольной функции $f(t),$ и если у меня получилось $H(\mathbf{P},\mathbf{Q},t)=h(t),$ то с тем же успехом я могу написать $H=0.$ Можно посмотреть на это с другой стороны. Есть уравнение $\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(t,q_1,..,q_s,\frac{\partial S}{\partial q_1},..,\frac{\partial S}{\partial q_s}\right) =0.$ Вместо него напишем $\frac{\partial S}{\partial t}+H\left(t,q_1,..,q_s,\frac{\partial S}{\partial q_1},..,\frac{\partial S}{\partial q_s}\right) =f(t).$ Тогда $S=S_0+\int f(t)dt,$ где $S_0$ - решение уравнения с нулевой правой частью. Если на $S$ смотреть как на производящую функцию, то от добавления к ней функции, зависящей только от времени ничего не меняется, поскольку интересуемся мы только производными этой функции по каноническим переменным. С третьей точки зрения, добавляя к $H$ функцию времени мы добавили к действию $\int pdq-Hdt$ полный дифференциал.

IMHO, на таком языке магические пассы с уравнением Гамильтона-Якоби становятся прозрачнее. Мы ищем производящую функцию, зависящую от $n$ старых и $n$ новых координат. Новые координаты - константы, отсюда таинственный полный интеграл. Производные по новым координатам это новые импульсы, которые тоже константы. Отсюда таинственное приравнивание производных другим константам. Есть еще сюжет, упомянутый уважаемым pogulyat_vyshel, связанный с тем, что уравнениями характеристик уравнения Гамильтона-Якоби будут (в рассматриваемом примитивном случае) уравнения Гамильтона, но тут я и так много наговорил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение20.02.2018, 19:20 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Ascold в сообщении #1293426 писал(а):
а также Тихонова и Самарского, там теоремы существования и единственности рассматриваются без метода характеристик. Что лучше почитать про это, а также для понимания фразы "имеет решение локально по $t$."?


Смирнов Курс высш математики том 4

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнение Гамильтона-Якоби. Полный интеграл.
Сообщение20.02.2018, 21:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб

(Оффтоп)

pogulyat_vyshel в сообщении #1293454 писал(а):
Смирнов Курс высш математики
Ух ты! А я думал, что у математиков Владимир Иванович нынче совсем не котируется. Я тоже его хотел посоветовать, но постеснялся.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group