доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.

[TR63]

thething в сообщении #1292253 писал(а):

При каких $x$ верно неравенство Бернулли знаете?

thething, спасибо. Лично я этот момент запамятовала. Всё понятно.

[ewert]

Ivan 09 в сообщении #1291792 писал(а):

Доказать неравенство (для натуральных $n$)
$(1+\frac{1}{n})^n <(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$

Невыгодно. Лучше доказывать эквивалентное $(1+\frac{1}{n-1})^{n-1} <(1+\frac{1}{n})^{n}$. Там бросится в глаза разность квадратов, после чего обращение к Бернулли станет почти очевидным. (Вообще желательно выбирать по возможности симметричные выражения.)

Впрочем: а зачем вообще доказывать именно эту монотонность (если только не в качестве отдельного упражнения)?... Сама по себе она мало что даёт.

Tavi в сообщении #1291906 писал(а):

можно просто представить $n$ как непрерывную переменную, продифференцировать по ней,

Наверняка нельзя. Это если и нужно, то для числа "е" -- и, следовательно, формул для производных ещё нет. Кроме того,

Tavi в сообщении #1291906 писал(а):

Зато вообще в одно действие.

-- отнюдь. Там получатся слагаемые разных знаков.

[TR63]

ewert в сообщении #1292694 писал(а):

Лучше доказывать эквивалентное $(1+\frac{1}{n-1})^{n-1} <(1+\frac{1}{n})^{n}$

Вспомнила. Это неравенство рассматривалось на форуме ПЕН. Сошлись на том, что неравенство Бернулли можно применять сразу для рационального показателя $\frac{n}{n-1}$. Т.е. исходное доказывается устно. (Для рационального показателя я там доказала при помощи производной, но не такой, как предлагается здесь.)

[ewert]

TR63 в сообщении #1292706 писал(а):

Сошлись на том, что неравенство Бернулли можно применять сразу для рационального показателя

Э нет. Для рациональных оно если и есть, то надо корячиться. Это только для натуральных оно мгновенно получается по индукции. А ведь материал не школьный, и его надо по необходимости ввести сей секунд -- и не более чем секунд.

Кстати, мои сейчашние первокурсники меня огорчили: оказывается, не было у них в школе никакой матиндукции. А я им читал так, как если бы для них это было что-то само собой разумеющееся. Но и порадовали: приняли этот приём как должное, хотя я ничего специально насчёт него и не говорил.

[TR63]

ewert в сообщении #1292726 писал(а):

Для рациональных оно если и есть, то надо корячиться

Что значит, если есть? Доказывается полу устно. Можно и производную не привлекать (это сейчас заметила). Здешний ЗУ проверял. Ошибок не обнаружил. Конечно, согласна, что телодвижение лишнее. Но плюс в том, что получаем полезную информацию.

[ewert]

(Оффтоп)

TR63 в сообщении #1292732 писал(а):

Но плюс в том, что получаем полезную информацию.

Но преждевременно. Рациональные показатели -- это применительно к неравенству никому не нужные семечки; расширять -- так уж до вещественных. Так ведь заведомо рано. А кушать нужно тут и сейчас.

[TR63]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1292733 писал(а):

расширять -- так уж до вещественных

Эти "семечки" являются иллюстрацией к обобщению более крупного масштаба (правда, гипотетического характера; и, да, видно, здесь говорить об этом рано и не следует, хотя все рассуждения школьные).
Насчёт нужно оно кому или нет, могу сказать следующее, что, по крайней мере, при его (обобщении) использовании в обсуждении на ПЕН не возникло бы сомнений по поводу корректности использования для этого неравенства неравенства Бернулли с рациональным показателем. Все сомневались (а это не школьники). Пришлось доказать стандартным способом. Такие, вот, были "семечки" в пару строк.

[Tavi]

ewert в сообщении #1292694 писал(а):

Наверняка нельзя. Это если и нужно, то для числа "е" -- и, следовательно, формул для производных ещё нет.

Неа, формулы для производных можно без этого факта получить: пример 11 вот тут http://www.math24.ru/определение-производной.html

[ewert]

Tavi в сообщении #1293713 писал(а):

ewert в сообщении #1292694 писал(а):

Наверняка нельзя. Это если и нужно, то для числа "е" -- и, следовательно, формул для производных ещё нет.

Неа, формулы для производных можно без этого факта получить: пример 11 вот тут http://www.math24.ru/определение-производной.html

Ссылка некорректна. Но если Вы по ней всё же пройдёте, то непременно увидите: они для вывода производной от $e^x$ нагло и бесцеремонно используют и само число $e$, и второй замечательный предел. Хотя на момент появления обсуждаемой задачки ничего этого, естественно, нет и в зародыше.

[thething]

ewert в сообщении #1293730 писал(а):

Хотя на момент появления обсуждаемой задачки ничего этого, естественно, нет и в зародыше

Не совсем так. Число $e$ можно независимо получить из другой последовательности, а именно $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$. Правда, делать это, чтобы потом дойти до производной, а потом при помощи производной доказывать уже требуемое неравенство -- это как-то перебор, так что я с Вами согласен, данная задача не подразумевает никаких производных.