доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.

[Ivan 09]

Здравствуйте. Доказать неравенство (для натуральных $n$)
$(1+\frac{1}{n})^n <(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$
Мои попытки решения и мой ход рассуждений
$(\frac{n+1}{n})^n <(\frac{n+2}{n+1})^{n+1}$

$(\frac{n+1}{n})^n <(\frac{n+2}{n+1})^{n}\cdot \frac{n+2}{n+1} $

$(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)})^n <\frac{n+2}{n+1} $

раскрывая в числители квадрат и выделяя из дроби целую часть пришел к
$(1+\frac{1}{n(n+2)})^n <(1+\frac{1}{n+1}) $

подскажите, в правильном ли направлении я двигаюсь?

[thething]

Вообще, это можно доказать, раскладывая по биному Ньютона обе части

[DeBill]

А можно - так, как это делается при выводе сходимости к $e$:
надо только, до выделения целой части, перевернуть дроби (не забыв поменять знак неравенства), а потом применить неравенство Бернулли...

[Tavi]

Ну если не беспокоиться об изяществе доказательства, то можно просто представить $n$ как непрерывную переменную, продифференцировать по ней, и убедиться, что производная положительна при всех интересующих нас значениях переменной. Но это уже как-то некрасиво. Зато вообще в одно действие.

[TR63]

DeBill в сообщении #1291844 писал(а):

А можно - так, как это делается при выводе сходимости к $e$:

Я видела в литературе, что ссылаются на неравенство Коши (это простое следствие из неравенства Коши; а как показать, что это следствие из неравенства Бернулли?)

[thething]

См., например, в Зориче

[TR63]

thething, спасибо (правда, именно Зорича, у меня нет (есть другая); искать лень; ладно, сойдёт и так).

[Ivan 09]

DeBill
Спасибо вам, после вашей подсказки мои рассуждения были следующие
начинал с
$(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)})^n <\frac{n+2}{n+1} $
перевернул дробь
$(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2})^n >\frac{n+1}{n+2} $
Затем
$\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$
И вот тут, при применения неравенство Бернулли возникли вопросы
я решил преобразовать правую часть.
как известно, неравенство Бернулли
$(1+x)^n\geqslant 1+xn$
дальше
вместо $(1+x)$ у меня
$1-\frac{1}{n(n+2)}$
Правая часть
$1-\frac{1}{n+2}$

Где-то тут неточность, ошибка . Потому что
если сравнить
$(1-\frac{1}{n(n+2)})^n$ и $1-\frac{1}{n+2}$
при $n=1,2,3$ то

$(1-\frac{1}{n(n+2)})^n \leqslant 1-\frac{1}{n+2}$
осталось разобраться с этим моментом
Вопрос, как изменить знак неравенства Бернулли, если применять конкретно к моему примеру?
дальше все получилось, искомое неравенство удалось доказать.

[thething]

Ivan 09
При каких $x$ верно неравенство Бернулли знаете?

[Ivan 09]

thething
Если не ошибаюсь, при $x\geqslant-1$ формула верна

[thething]

Ivan 09
Ну а у Вас чему равен $x$? И согласуется ли это с условием

Ivan 09 в сообщении #1292256 писал(а):

при $x\geqslant-1$ формула верна

[Ivan 09]

thething
конкретно в моем примере при условии $n$-натуральное.
$-1\leqslant x < 0$
я не могу понять что не так

[thething]

Все у Вас так. У Вас $x=-\frac{1}{n(n+1)}$, а это $\geqslant{-1}$ (проверьте). Так что применяйте неравенство Бернулли

[Ivan 09]

thething
проблема в том, что знак не получается . Я пока не в силах разобраться.
Надо подумать уже на свежую голову, сейчас трудно сообразить, спасибо за столь быстрые ответы.

[thething]

Ivan 09
Так это Вы что-то намудрили

Ivan 09 в сообщении #1292250 писал(а):

при $n=1,2,3$ то

$(1-\frac{1}{n(n+2)})^n \leqslant 1-\frac{1}{n+2}$

Вот это неверно (проверьте внимательно)