2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение11.02.2018, 13:27 


14/09/16
280
Здравствуйте. Доказать неравенство (для натуральных $n$)
$(1+\frac{1}{n})^n <(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}$
Мои попытки решения и мой ход рассуждений
$(\frac{n+1}{n})^n <(\frac{n+2}{n+1})^{n+1}$

$(\frac{n+1}{n})^n <(\frac{n+2}{n+1})^{n}\cdot \frac{n+2}{n+1} $

$(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)})^n <\frac{n+2}{n+1} $

раскрывая в числители квадрат и выделяя из дроби целую часть пришел к
$(1+\frac{1}{n(n+2)})^n <(1+\frac{1}{n+1}) $

подскажите, в правильном ли направлении я двигаюсь?

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение11.02.2018, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Вообще, это можно доказать, раскладывая по биному Ньютона обе части

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение11.02.2018, 18:25 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
А можно - так, как это делается при выводе сходимости к $e$:
надо только, до выделения целой части, перевернуть дроби (не забыв поменять знак неравенства), а потом применить неравенство Бернулли...

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение12.02.2018, 00:41 


11/02/18
11
Ну если не беспокоиться об изяществе доказательства, то можно просто представить $n$ как непрерывную переменную, продифференцировать по ней, и убедиться, что производная положительна при всех интересующих нас значениях переменной. Но это уже как-то некрасиво. Зато вообще в одно действие.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение12.02.2018, 09:14 


03/03/12
1380
DeBill в сообщении #1291844 писал(а):
А можно - так, как это делается при выводе сходимости к $e$:


Я видела в литературе, что ссылаются на неравенство Коши (это простое следствие из неравенства Коши; а как показать, что это следствие из неравенства Бернулли?)

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение12.02.2018, 09:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
См., например, в Зориче

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение12.02.2018, 09:31 


03/03/12
1380
thething, спасибо (правда, именно Зорича, у меня нет (есть другая); искать лень; ладно, сойдёт и так).

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение13.02.2018, 15:06 


14/09/16
280
DeBill
Спасибо вам, после вашей подсказки мои рассуждения были следующие
начинал с
$(\frac{(n+1)^2}{n(n+2)})^n <\frac{n+2}{n+1} $
перевернул дробь
$(\frac{n(n+2)}{(n+1)^2})^n >\frac{n+1}{n+2} $
Затем
$\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$
И вот тут, при применения неравенство Бернулли возникли вопросы
я решил преобразовать правую часть.
как известно, неравенство Бернулли
$(1+x)^n\geqslant 1+xn$
дальше
вместо $(1+x)$ у меня
$1-\frac{1}{n(n+2)}$
Правая часть
$1-\frac{1}{n+2}$

Где-то тут неточность, ошибка . Потому что
если сравнить
$(1-\frac{1}{n(n+2)})^n$ и $1-\frac{1}{n+2}$
при $n=1,2,3$ то

$(1-\frac{1}{n(n+2)})^n \leqslant 1-\frac{1}{n+2}$
осталось разобраться с этим моментом
Вопрос, как изменить знак неравенства Бернулли, если применять конкретно к моему примеру?
дальше все получилось, искомое неравенство удалось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение13.02.2018, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Ivan 09
При каких $x$ верно неравенство Бернулли знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение13.02.2018, 15:16 


14/09/16
280
thething
Если не ошибаюсь, при $x\geqslant-1$ формула верна

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение13.02.2018, 15:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Ivan 09
Ну а у Вас чему равен $x$? И согласуется ли это с условием
Ivan 09 в сообщении #1292256 писал(а):
при $x\geqslant-1$ формула верна

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение13.02.2018, 15:24 


14/09/16
280
thething
конкретно в моем примере при условии $n$-натуральное.
$-1\leqslant x < 0$
я не могу понять что не так

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение13.02.2018, 15:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Все у Вас так. У Вас $x=-\frac{1}{n(n+1)}$, а это $\geqslant{-1}$ (проверьте). Так что применяйте неравенство Бернулли

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение13.02.2018, 15:33 


14/09/16
280
thething
проблема в том, что знак не получается . Я пока не в силах разобраться.
Надо подумать уже на свежую голову, сейчас трудно сообразить, спасибо за столь быстрые ответы.

 Профиль  
                  
 
 Re: доказать неравенство из сборника задач Давыдов и др.
Сообщение13.02.2018, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1411
Антарктика
Ivan 09
Так это Вы что-то намудрили
Ivan 09 в сообщении #1292250 писал(а):
при $n=1,2,3$ то

$(1-\frac{1}{n(n+2)})^n \leqslant 1-\frac{1}{n+2}$

Вот это неверно (проверьте внимательно)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group