Посчитайте вероятность выигрыша для начинающего игру и того, кто начал вторым. Только внимательно: Ваш ряд имеет ошибку уже во втором члене.
И да, погуглите геометрическую прогрессию. Материал простой.
А дальше интереснее. Формула Байеса. Её стоит понять.

Итак, слева стоит вероятность того, что Ваня начинал первым - событие A - при условии, что он выиграл - событие B.

- вероятность того, что первым начинал игру Иван. - Пока не заморачиваемся, выиграл он чи нi. - Ну это просто.

- вероятность выигрыша Вани. Опять же, просто выиграть. Заметим, что подкидывать монетку ума много не надо. - И даже дебил может выиграть у Петросяна. - Ну понятно.

- а вот и то число, что мы посчитали вначале: вероятность выигрыша Вани, если он начинает игру первым. - Сравните это с моей формулировкой

. - Они зеркальны.
Подставляем три величины в формулу и получаем ответ.