Задача на вероятность по теореме о гипотезах

[valery99]

 Иван и Игорь по очереди подбрасывают монетку до
тех пор, пока не выпадет “орел”. (Если “орел” выпадает при
первом же броске, то игра считается завершенной с победой
того, кто сделал этот бросок, а его противник проигрывает даже
не сделав ни одного броска.) В очередной игре победил Иван.
Какова вероятность того, что в этот раз именно он начинал
игру?

Т.е. вероятность выиграть у Ивана получается 0.5+0.5*0.5...? Я вообще запутался. Как это все связать с вероятностью победы. Можете направить на путь истинный? (Не решение, а подтолкнуть, объяснить суть задачи)

P.s. Теория вероятности - сложный раздел математики(

[svv]

Моё замечание вряд ли поможет Вам решить задачу, но оно поможет корректно сформулировать её условие.
В условии пропущен важный пункт: Иван и Игорь начинают игру с равной вероятностью. Об этом приходится догадываться.

Хуже того, фразу «Иван и Игорь по очереди подбрасывают монетку» можно истолковать так, что всегда начинает Иван. В этом случае, конечно, искомая вероятность равна $1$. Задача в целом становится малоосмысленной, но это только показывает, что вероятность того, что начинает Иван, влияет на ответ.

valery99 в сообщении #1292354 писал(а):

Теория вероятности - сложный раздел математики(

Изучению предмета с удовольствием мешают, как минимум, 1) отсутствие интереса (это отчасти поправимо, даже собственными силами) и 2) проклятый цейтнот. Сложность где-то там на четвёртом месте.

[atlakatl]

Посчитайте вероятность выигрыша для начинающего игру и того, кто начал вторым. Только внимательно: Ваш ряд имеет ошибку уже во втором члене.
И да, погуглите геометрическую прогрессию. Материал простой.
А дальше интереснее. Формула Байеса. Её стоит понять.
${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}}}$
Итак, слева стоит вероятность того, что Ваня начинал первым - событие A - при условии, что он выиграл - событие B.
$P(A)$ - вероятность того, что первым начинал игру Иван. - Пока не заморачиваемся, выиграл он чи нi. - Ну это просто.
$P(B)$ - вероятность выигрыша Вани. Опять же, просто выиграть. Заметим, что подкидывать монетку ума много не надо. - И даже дебил может выиграть у Петросяна. - Ну понятно.
$P(B\mid A)$ - а вот и то число, что мы посчитали вначале: вероятность выигрыша Вани, если он начинает игру первым. - Сравните это с моей формулировкой $P(A\mid B)$. - Они зеркальны.
Подставляем три величины в формулу и получаем ответ.

[gris]

Добавлю, что если забыли прогрессии, то вероятность выигрыша начинающего и продолжающего несложно получить и без них

[valery99]

atlakatl в сообщении #1292370 писал(а):

Посчитайте вероятность выигрыша для начинающего игру и того, кто начал вторым. Только внимательно: Ваш ряд имеет ошибку уже во втором члене.
И да, погуглите геометрическую прогрессию. Материал простой.
А дальше интереснее. Формула Байеса. Её стоит понять.
${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}}}$
Итак, слева стоит вероятность того, что Ваня начинал первым - событие A - при условии, что он выиграл - событие B.
$P(A)$ - вероятность того, что первым начинал игру Иван. - Пока не заморачиваемся, выиграл он чи нi. - Ну это просто.
$P(B)$ - вероятность выигрыша Вани. Опять же, просто выиграть. Заметим, что подкидывать монетку ума много не надо. - И даже дебил может выиграть у Петросяна. - Ну понятно.
$P(B\mid A)$ - а вот и то число, что мы посчитали вначале: вероятность выигрыша Вани, если он начинает игру первым. - Сравните это с моей формулировкой $P(A\mid B)$. - Они зеркальны.
Подставляем три величины в формулу и получаем ответ.

Я целых 3 варианта осознал нахождения вероятности выигрыша Иван, если он начинал игру первым - это в итоге 2/3. А просто вероятность выигрыша Ивана получается равна 1/2?

-- 14.02.2018, 22:14 --

gris в сообщении #1292386 писал(а):

Добавлю, что если забыли прогрессии, то вероятность выигрыша начинающего и продолжающего несложно получить и без них

Целых 3 способа я нашел, а вот вероятность выигрыша Ивана просто 1/2? Без учета того, кто начнет первым?

[gris]

Первый, как Вы написали, выигрывает с вероятностью $2/3$. Это можно получить, суммируя прогрессии. А можно обозначить эту вероятность $x$. Чему равна вероятность выигрыша второго? Если первым шагом первый проигрывает, то второй становится первым. То есть его вероятность равна $0,5\cdot x$. Ну а сумма равна вероятности того, что игра закончится. Кстати, вот событие не невозможное, но имеющее вероятность равную нулю: то, что игра будет бесконечной. А вообще если требуется решение по Байесу, то надо всё формально расписать (гипотезы и пр.), хотя решение очевидно.

[valery99]

gris в сообщении #1292522 писал(а):

Первый, как Вы написали, выигрывает с вероятностью $2/3$. Это можно получить, суммируя прогрессии. А можно обозначить эту вероятность $x$. Чему равна вероятность выигрыша второго? Если первым шагом первый проигрывает, то второй становится первым. То есть его вероятность равна $0,5\cdot x$. Ну а сумма равна вероятности того, что игра закончится. Кстати, вот событие не невозможное, но имеющее вероятность равную нулю: то, что игра будет бесконечной. А вообще если требуется решение по Байесу, то надо всё формально расписать (гипотезы и пр.), хотя решение очевидно.

P(B)=1/2? Т.е. товарищ выше расписывал , знаменатель формулы?

[atlakatl]

valery99 в сообщении #1292533 писал(а):

товарищ выше расписывал , знаменатель формулы?

Можно просто atlakatl.
Что-то Вы усложняете. Три варианта, как у Германна, всюду вылазят.
Сила Байеса (ТБ) в простоте исходных посылок, нужно только абстрагироваться от дальнейшего.
Какова вероятность, что игру первым начал Иван? Новички тупят часто: типа, это ж и надо узнать. А в ТБ надо выписать просто вероятность того: $P(A)=1/2$ - подумайте над этим.
Та же катавасия с $P(B)$ - игра, как уже я говорил, тупая, шансы у сторон равны. Играли бы они, скажем, в шашки, пришлось бы узнавать разряды Вани и Игоря. И $P(B)$ могла быть другой.

valery99 в сообщении #1292517 писал(а):

если он начинал игру первым - это в итоге 2/3

Це вірно. Но всё же подумайте над решением именно по Байесу.

[atlakatl]

И ещё. Важно не запутаться в индексах. Для тренировки предлагаю выписать вероятности: и простые (априорные их вероятностики называют), и условные.
Итак, есть группа мужчин и женщин. 45% из них имеют квартиры, остальные живут в общаге. Мужчинам принадлежит 35% всех квартир и 15% общажного фонда. Какова вероятность, что женщина живёт в общаге?
Саму задачу можно пока не решать, но правильно ввести обозначения значит пройти половину пути.

[gris]

Если говорить о Байесе, то нужно привести гипотезы и посчитать полную вероятность. То есть вероятность выигрыша Ивана. Пока она получена интуитивно. И гипотезы не озвучены с их вероятностями.