для n>2
Уравнение

(1)
не имеет решений в натуральных числах при n>2,

взаимно простые
Предположим, что

натуральные
Представим (1) в виде разности

(2)
Натуральное число

по формуле представления целого числа с помощью остатков от деления на натуральное

выразим как

- q,rнатуральные
тогда (2) примет вид

(3)
таким образом, обозначено условие, что n>2
или

(4)
q-натуральное,поэтому при делении на него обеих частей уравнения,получим равносильное

(5)
из (4) следует



составим уравнение

(6)
умножим правую часть на с

(7)
по правилам пропорции (знаменатель вычтем из числителя),получим

(8)
при

возникает противоречие, тк справедливость равенства (8)
требует
Следовательно, предположение неверно, уравнение (1) не имеет решения в натуральных числах.