2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Простое решение уравнения ВТФ
Сообщение10.02.2018, 13:36 


18/03/17
27
vasili
Вот тут и возникает вопрос,можно ли с уверенностью сказать,что не существует таких взаимно простых с и а одинаковой четности,при которых уравнение
$(c^2+a^2)^2-4a^2c^2=(c^2-a^2)^2$
можно представить как
$x^2+y^2=z^2$ ,x,y,z-натуральные

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое решение уравнения ВТФ
Сообщение11.02.2018, 11:46 


27/03/12
411
г. новосибирск
Уважаемый arguments ! Можно с уверенностью сказать, существует бесконечно много нечетных натуральных чисел c и a таких, что могут образовать Пифагорову тройку $(z,x,y)$, где $z = c^2 + a^2$,
$x = c^2-a^2$ и $y =2ca$. Но сказать, без доказательства, что одна пара этих чисел удовлетворяет равенству $c^3 = a^3 + b^3$ нет никаких оснований.

-- 11.02.2018, 14:48 --

Уважаемый arguments ! Можно с уверенностью сказать, существует бесконечно много нечетных натуральных чисел c и a таких, что могут образовать Пифагорову тройку $(z,x,y)$, где $z = c^2 + a^2$,
$x = c^2-a^2$ и $y =2ca$. Но сказать, без доказательства, что одна пара этих чисел удовлетворяет равенству $c^3 = a^3 + b^3$ нет никаких оснований.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое решение уравнения ВТФ
Сообщение11.02.2018, 13:59 


18/03/17
27
vasili
Это известный факт.И так как а и с взаимно простые, при делении на 2 должна получиться примитивная тройка.
Но как это связать с уравнением (8) ?
Как -то на форуме (не помню на каком) промелькнуло, что вот если бы свести степень n>2 к виду
$(c^2-a^2)^2+4a^2c^2=(c^2+a^2)^2$
вот мне и стало интересно. И получить этот результат можно и другим способом. У меня вышло 4.
А что дальше, не понятно. Может кто-нибудь что-то и сообразит.

А пока имеем только то,что , если предположить,что натуральные $a,b,c$взаимно просты
то возникает противоречие, это видно из уравнения (8), так его справедливость требует $a+1>b$
А привести любую степень к виду
$c^3-a^3=p(c-a)$ не сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое решение уравнения ВТФ
Сообщение11.02.2018, 22:35 
Аватара пользователя


15/09/13
249
г. Ставрополь
arguments в сообщении #1291797 писал(а):
видно из уравнения (8)


arguments.
Из уравнения (8) пока видно, что уравнение (8) получено только для $b=0$ (или аналогично для $a=0$)... :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое решение уравнения ВТФ
Сообщение13.02.2018, 16:35 


18/03/17
27
для n>2

Уравнение
$a^n+b^n=c^n$ (1)
не имеет решений в натуральных числах при n>2, $a,b,c$ взаимно простые

Предположим, что $a,b,c$ натуральные
Представим (1) в виде разности
$c^n-a^n=b^n$ (2)
Натуральное число $(c^n-a^n)$ по формуле представления целого числа с помощью остатков от деления на натуральное
$(c^3-a^3)$ выразим как $(q(c^3-a^3)+r) $- q,rнатуральные
тогда (2) примет вид
$q(c^3-a^3)+r=b^n$ (3)
таким образом, обозначено условие, что n>2
или
$q(c^3-a^3)=b^n-r$(4)
q-натуральное,поэтому при делении на него обеих частей уравнения,получим равносильное
$c^3-a^3=p(c-a), p=c^2+ac+a^2$ (5)
из (4) следует
$pc-c^3=pa-a^3=ac(c+a)$
$pc+a^3=pa+c^3=(c+a)(c^2+a^2)$
$(c-a)(pc+a^3)=c(pa+c^3)-a(pc+a^3)=c^4-a^4$
составим уравнение

$\frac{pc+a^3}{c^4-a^4}=\frac{p}{c^3-a^3}$ (6)
умножим правую часть на с

$\frac{pc+a^3}{c^4-a^4}=\frac{pc}{c^4-a^3c}$ (7)
по правилам пропорции (знаменатель вычтем из числителя),получим

$\frac{(pc-c^4)+a^3+a^4}{c^4-a^4}=\frac{(pc-c^4)+a^3c}{c^4-a^3c}$ (8)

при $c>a$ возникает противоречие, тк справедливость равенства (8)
требует $a^3+a^4>a^3c, a+1>c$

Следовательно, предположение неверно, уравнение (1) не имеет решения в натуральных числах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое решение уравнения ВТФ
Сообщение14.02.2018, 13:46 
Аватара пользователя


26/09/16
141
Снегири
[Подумал и пока что удалил]

 Профиль  
                  
 
 Re: Простое решение уравнения ВТФ
Сообщение14.02.2018, 16:33 
Аватара пользователя


26/09/16
141
Снегири
Не буду жаловаться на то, что формулы, отмеченные как "из (4) следует" из (4) никак не следуют.

Правильно ли я понимаю, что противоречие, возникающее при $c > a$ следует из того, что вы посчитали слагаемое $(pc - c^4)$ в выражении (8) ничего не значащим, так как оно встречается и справа и слева, и потому не стали обращать на него внимания? Но из-за него (если не ошибаюсь, всегда отрицательного) правая и левая части равенства (8) отрицательны (если не брать случай $c = a+1$), следовательно выписанные после этого условия должны иметь другой знак.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group