Простое решение уравнения ВТФ

[arguments]

vasili
Вот тут и возникает вопрос,можно ли с уверенностью сказать,что не существует таких взаимно простых с и а одинаковой четности,при которых уравнение
$(c^2+a^2)^2-4a^2c^2=(c^2-a^2)^2$
можно представить как
$x^2+y^2=z^2$ ,x,y,z-натуральные

[vasili]

Уважаемый arguments ! Можно с уверенностью сказать, существует бесконечно много нечетных натуральных чисел c и a таких, что могут образовать Пифагорову тройку $(z,x,y)$, где $z = c^2 + a^2$,
$x = c^2-a^2$ и $y =2ca$. Но сказать, без доказательства, что одна пара этих чисел удовлетворяет равенству $c^3 = a^3 + b^3$ нет никаких оснований.

-- 11.02.2018, 14:48 --

Уважаемый arguments ! Можно с уверенностью сказать, существует бесконечно много нечетных натуральных чисел c и a таких, что могут образовать Пифагорову тройку $(z,x,y)$, где $z = c^2 + a^2$,
$x = c^2-a^2$ и $y =2ca$. Но сказать, без доказательства, что одна пара этих чисел удовлетворяет равенству $c^3 = a^3 + b^3$ нет никаких оснований.

[arguments]

vasili
Это известный факт.И так как а и с взаимно простые, при делении на 2 должна получиться примитивная тройка.
Но как это связать с уравнением (8) ?
Как -то на форуме (не помню на каком) промелькнуло, что вот если бы свести степень n>2 к виду
$(c^2-a^2)^2+4a^2c^2=(c^2+a^2)^2$
вот мне и стало интересно. И получить этот результат можно и другим способом. У меня вышло 4.
А что дальше, не понятно. Может кто-нибудь что-то и сообразит.

А пока имеем только то,что , если предположить,что натуральные $a,b,c$взаимно просты
то возникает противоречие, это видно из уравнения (8), так его справедливость требует $a+1>b$
А привести любую степень к виду
$c^3-a^3=p(c-a)$ не сложно.

[vxv]

arguments в сообщении #1291797 писал(а):

видно из уравнения (8)

arguments.
Из уравнения (8) пока видно, что уравнение (8) получено только для $b=0$ (или аналогично для $a=0$)...

[arguments]

для n>2

Уравнение
$a^n+b^n=c^n$ (1)
не имеет решений в натуральных числах при n>2, $a,b,c$ взаимно простые

Предположим, что $a,b,c$ натуральные
Представим (1) в виде разности
$c^n-a^n=b^n$ (2)
Натуральное число $(c^n-a^n)$ по формуле представления целого числа с помощью остатков от деления на натуральное
$(c^3-a^3)$ выразим как $(q(c^3-a^3)+r) $- q,rнатуральные
тогда (2) примет вид
$q(c^3-a^3)+r=b^n$ (3)
таким образом, обозначено условие, что n>2
или
$q(c^3-a^3)=b^n-r$(4)
q-натуральное,поэтому при делении на него обеих частей уравнения,получим равносильное
$c^3-a^3=p(c-a), p=c^2+ac+a^2$ (5)
из (4) следует
$pc-c^3=pa-a^3=ac(c+a)$
$pc+a^3=pa+c^3=(c+a)(c^2+a^2)$
$(c-a)(pc+a^3)=c(pa+c^3)-a(pc+a^3)=c^4-a^4$
составим уравнение

$\frac{pc+a^3}{c^4-a^4}=\frac{p}{c^3-a^3}$ (6)
умножим правую часть на с

$\frac{pc+a^3}{c^4-a^4}=\frac{pc}{c^4-a^3c}$ (7)
по правилам пропорции (знаменатель вычтем из числителя),получим

$\frac{(pc-c^4)+a^3+a^4}{c^4-a^4}=\frac{(pc-c^4)+a^3c}{c^4-a^3c}$ (8)

при $c>a$ возникает противоречие, тк справедливость равенства (8)
требует $a^3+a^4>a^3c, a+1>c$

Следовательно, предположение неверно, уравнение (1) не имеет решения в натуральных числах.

[SVD-d]

[Подумал и пока что удалил]

[SVD-d]

Не буду жаловаться на то, что формулы, отмеченные как "из (4) следует" из (4) никак не следуют.

Правильно ли я понимаю, что противоречие, возникающее при $c > a$ следует из того, что вы посчитали слагаемое $(pc - c^4)$ в выражении (8) ничего не значащим, так как оно встречается и справа и слева, и потому не стали обращать на него внимания? Но из-за него (если не ошибаюсь, всегда отрицательного) правая и левая части равенства (8) отрицательны (если не брать случай $c = a+1$), следовательно выписанные после этого условия должны иметь другой знак.