Шарик крутится вокруг шеста

[fred1996]

Маленький шарик запускают вокруг достаточно тонкого шеста, прикрепив его за невесомую нитку к точке на поверхности шеста. Начальный угол $\alpha_0$. И начальная горизонтальная скорость шарика $v_0$ такова, что он бы крутился по круговой траектории, если бы шест имел нулевую толщину. Считается, что в процессе наматывания нити на шест она не проскальзывает по шесту. Определить скорость шарика в момент столкновения с шестом.
Это основной вопрос.
А попутно у меня возникло еще пара вопросов. Если столкновение с шестом абсолютно упругое, повторит ли шарик свою траекторию в обратном направлении. И при каком минимальном к-те трения нить не будет проскальзывать по шесту. Наверное тут понадобится радиус шеста.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1275835 писал(а):

Маленький шарик запускают вокруг достаточно тонкого шеста, прикрепив его за невесомую нитку к точке на поверхности шеста. Начальный угол $\alpha_0$. И начальная горизонтальная скорость шарика $v_0$ такова, что он бы крутился по круговой траектории, если бы шест имел нулевую толщину. Считается, что в процессе наматывания нити на шест она не проскальзывает по шесту. Определить скорость шарика в момент столкновения с шестом.

если шест достаточно тонкий то наматывания не будет, а если недостаточно тонкий то это неголономная система с двумя степенями свободы

[fred1996]

Достаточно тонкий в том смысле, что в первом приближении можно считать движение шарика почти по окружности в горизонтальной проекции. Но наматывание есть.

[dovlato]

Видимо, имеется в виду, что нить невесома. Иначе это урматы.
Ну а тогда - закон сохранения энергии к вашим услугам. Момент импульса не сохраняется.
Упругий удар: наверное, да. Киноплёнка побежит в обратную сторону.

[amon]

Пока длина нити много больше длины окружности шеста, сохраняется (приближенно) адиабатический инвариант $I=\oint \mathbf{p}d\mathbf{q}.$

[Dachnik]

А почему все маленькое?
Берите столб с окружностью 1 метр. Абсолютно гибкую нерастяжимую веревку длиной 100 м..
Массу берите 1 кг. Силы трения исключите.
По начальному углу определяйте начальную угловую скорость, из условия равенства
центробежной силы $m\omega^2R = mgsin\alpha $
Используйте закон сохранения момента импульса $J\omega = mvR = \operatorname{const}

При наматывании веревки на столб, угол будет увеличиваться, расчет усложнится.

При абсолютно упругом ударе шара о цилиндр, процесс пойдет в обратную сторону, по достижению начального положения, будет снова наматывание.

[Xey]

fred1996 в сообщении #1275835 писал(а):

Определить скорость шарика в момент столкновения с шестом.

Интуитивно видится так.
В невесомости шарик не теряя скорости поднялся бы на уровень закрепления нитки и наматывался бы на шест , сохраняя линейную скорость до столкновения с шестом.
При наличии веса, в процессе наматывания нитки по спирали, угол отклонения нитки от шеста будет увеличиваться. Шарик приподнимется, немного потеряв на этом скорость.

[Батороев]

Xey в сообщении #1291811 писал(а):

В невесомости шарик не теряя скорости поднялся бы на уровень закрепления нитки и наматывался бы на шест , сохраняя линейную скорость до столкновения с шестом.

Т.к. момент импульса вращающегося шарика $L=I\omega =mrv = \operatorname{const}$, то линейная скорость при наматывании будет возрастать.

[eugensk]

[Я ерунду написал, стёр пока никто не заметил]

[Батороев]

Т.к. удар шарика не может быть направлен по нормали к поверхности шеста, то процесс скорее всего не будет обратимым.

-- 12 фев 2018 13:21 --
Хотя с некоторыми допущениями наверное можно считать удар центральным.

[eugensk]

Батороев в сообщении #1291934 писал(а):

момент импульса вращающегося шарика $L=I\omega =mrv = \operatorname{const}$

Линейная скорость должна оставаться постоянной (кинетическая энергия постоянна), значит момент импульса уменьшается. Выходит, у натяжения нити есть плечо, и ненулевой момент.

[Xey]

Момент импульса передается на основание (на землю) через закрепленный шест.
(Если бы шест был не закреплен и мог вращаться, нитка не наматывалась бы на него

[Батороев]

eugensk в сообщении #1291946 писал(а):

Линейная скорость должна оставаться постоянной (кинетическая энергия постоянна), значит момент импульса уменьшается. Выходит, у натяжения нити есть плечо, и ненулевой момент

Кинетическая энергия при переходе шарика с большего радиуса $r_1$ на меньший $r_2$ в невесомости требует работы шнура по преодолению силы, которую в технике называют "центробежной": $E_2=E_1+A$, т.е. $E_2>E_1$.
Что будет неизменным, так это момент импульса.
В поле тяготения к воздействию шнура добавится и изменение потенциальной энергии (высоты полета шарика).

[Xey]

Батороев в сообщении #1292379 писал(а):

Кинетическая энергия при переходе шарика с большего радиуса $r_1$ на меньший $r_2$ в невесомости требует работы

Если эту работу совершить за счет внешнего источника энергии (внешней силой), то скорость шарика возрастет. А если переход совершается за счет энергии шарика? (интуиции не хватает).

Батороев в сообщении #1292379 писал(а):

Что будет неизменным, так это момент импульса.

Неизменым будет момент импульса системы шарик плюс шест (если массивному шесту дать возможность поворачиваться вокруг своей оси, он будет покачиваться в противофазе с шариком)

[Батороев]

Xey в сообщении #1292434 писал(а):

Если эту работу совершить за счет внешнего источника энергии (внешней силой), то скорость шарика возрастет. А если переход совершается за счет энергии шарика? (интуиции не хватает).

Шнур для шарика и является источником внешней силы. Не будь шнура, шарик летел бы себе прямолинейно и равномерно.
Представьте, что Вы находитесь на неподвижной опоре вне поля тяготения и раскручиваете шарик на веревке. В некоторый момент Вы прекращаете раскрутку и встаете в жесткие захваты на безмассовый диск, который может вращаться без трения относительно неподвижной опоры. При этом Ваша масса куда-то внезапно исчезла. Далее вся система вращается за счет приобретенной шариком кинетической энергии. В отсутствие внешних для системы сил такое вращение может продолжаться бесконечно.
В некоторый момент Вы решили уменьшить радиус вращения шарика. Для этого Вам необходимо подтянуть шарик к себе, совершив работу. Т.к. система замкнутая, то Ваша работа пойдет только на увеличение кинетической энергии шарика. Для перехода же в прежнее состояние необходимо лишь стравить шнур - шарик уже сам произведет работу (например, нагревая руки). При этом он потеряет часть кинетической энергии.
Т.к. во всей системе массу имел только шарик, то импульс момента "принадлежал" только ему, не "передавался", а потому и не менялся.

-- 15 фев 2018 09:32 --

p.s. Предложенное рассмотрение идеализировано, т.е. все абсолютно жестко, в т.числе и Ваше тело. :)