Символы Кристоффеля на сфере(без метрики)

[svv]

Конечно, можно применить простой способ Sicker, но тогда мы упустим удобный случай отработать технику ковариантного дифференцирования.
Извечное противоречие: сложные задачи ставить не хочется, а для простых слишком часто находятся хитрые способы, позволяющие избежать применения стандартной техники. На чём же тренироваться?

[Ascold]

Пусть вектор $\mathbf{a}$ с компонентами $a^\theta=p,$ $a^\varphi=q$ переносится вдоль параллели $\theta=const$ из точки $\varphi=0$ в точку, отвечающую углу $\varphi=2\pi$. Вектор, получившийся при переносе, обозначим $\mathbf{a'}.$
Если $\Delta\psi$ - угол между ними, то

$$\cos\Delta\psi=\frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a'}}{|\mathbf{a}||\mathbf{a'}|}.$$

Найдём $\mathbf{a'}.$ Раз перенос параллельный и $\theta=const$, то $\nabla_\phi\mathbf{a'}=0,$ т.е.(с ненулевыми символами Кристоффеля):

$$(\frac{\partial a^\varphi}{\partial\varphi}+a^\theta\Gamma^\varphi_{\theta\varphi})\mathbf{e_\varphi}+(\frac{\partial a^\theta}{\partial\varphi}+a^\varphi\Gamma^\theta_{\varphi\varphi})\mathbf{e_\theta}=0$$

Отсюда получаем систему уравнений относительно $a^\theta$ и $a^\varphi$, каждая из компонент в итоге получается линейной комбинацией синуса и косинуса, откуда, подставив $\varphi=2\pi$ и учтя метрику $g_{\theta\theta}=1,$ $g_{\varphi\varphi}=\sin^2\theta,$ получаем угол поворота вектора

$$\Delta\psi=2\pi\cos\theta.$$

На всякий случай сделал графическую проверку:

[svv]

У меня тоже получился такой ответ.

[Ascold]

Я тут неожиданно вот о чём подумал - равенство нулю ковариантной производной как условие параллельного переноса сколь универсально? К примеру, Шутц в его решении задачи 6.14 демонстрирует, что $\nabla_\theta\mathbf{e_\varphi}\neq0,$ $\nabla_\varphi\mathbf{e_\varphi}\neq0$. Как можно, не прибегая к картинкам, разъяснить эту разницу подходов к ковариантной производной векторов и базисных векторов при параллельном переносе? Шутц просто постулирует правило (6.6).

[svv]

Разница есть, но Вы её не так назвали и не к тому отнесли.

Это разница между векторными полями коммутирующими и некоммутирующими (пункт 2.15). Базисные векторные поля также могут коммутировать или не коммутировать. Шутц называет соответствующие базисы координатный и некоординатный, в другой литературе употребляются термины голономный и неголономный. Если существуют такие координаты $(x^i)$, что $\mathbf e_i=\frac{\partial}{\partial x^i}$, базис будет координатным, потому что частные производные по двум переменным из одного набора независимых переменных (понятна ли оговорка?) коммутируют. Некоординатные базисы тоже широко применяются. Например, в приложениях сферическая система координат используется вместе с ортонормированным базисом $(\mathbf e_r, \mathbf e_\theta, \mathbf e_\varphi)$.

При переносе вектора $\mathbf v$ вдоль кривой $\gamma$ с касательным вектором $\mathbf u$ безразлично, коммутируют поля $\mathbf u$ и $\mathbf v$, или нет. Это легко увидеть из того, что для переноса вдоль $\gamma$ (при заданной связности) достаточно того, что поле $\mathbf u$ задано только на $\gamma$, а вектор $\mathbf v$ только в исходной точке; в этой ситуации коммутатор $[\mathbf u, \mathbf v]$ не определён. То же относится к ковариантной производной вдоль $\mathbf u$. Чтобы вычислить её, надо сверх указанного только задать поле $\mathbf v$ на $\gamma$ и затем найти указанный в формуле (6.2) предел, в котором фигурирует разность «истинного» $\mathbf v$ в точке и того, что получен параллельным переносом из близкой точки. Естественно считать, что когда «истинный» $\mathbf v$ как раз и получен параллельным переносом вдоль $\gamma$ и указанная разность равна нулю, то и $\nabla_{\mathbf u}\mathbf v=0$, and nothing else matters. Это отвечает на Ваш вопрос об универсальности.

Теперь, что представляет собой (6.6). Существует необозримое число векторных полей, для которых мы хотим вычислять ковариантную производную. Естественно такое желание: вычислить ковариантную производную базисных полей по базисным, чтобы, опираясь на это вычисление, для всех остальных полей её можно было бы вычислять легче, каким-нибудь разложением. Оказывается, что для этого надо в каждой точке вычислить $n^3$ (где $n=\dim M$) коэффициентов $\Gamma^k_{ji}$, после чего задача сводится к обычному дифференцированию скалярных функций. Равенство (6.6) является просто определением $\Gamma^k_{ji}$ и не выражает каких-то особых свойств векторов $\mathbf e_i$, кроме того, что они приняты за базисные. Если базис некоординатный, соответствующие величины тоже можно вычислить и применять их в той же роли с тем же успехом — это гарантируется формулами (6.3a) и (6.4c). В литературе я видел, что в этом случае они уже не называются символами Кристоффеля и обозначаются иначе, но Шутц различия не делает.

Перейдём от первых производных к вторым. В формулах (6.18) и (6.19) появляется слагаемое (второе в левой части), зависящее от коммутатора полей. В случае координатного базиса этот коммутатор обращается в нуль, и второе слагаемое можно выбросить. В каком-то смысле полученное определение кривизны

$$(\nabla_{\mathbf u} \nabla_{\mathbf v}-\nabla_{\mathbf v} \nabla_{\mathbf u})\mathbf w=\textsf R_{\mathbf u, \mathbf v}(\mathbf w),\; \text{если} \;\mathbf u\;\text{и}\;\mathbf v \text{\;коммутируют}$$

не является менее общим, потому что его легко распространить на поля общего вида (разложив их по координатному базису) и вернуться к (6.18).

-- Пн фев 12, 2018 13:48:42 --

Ascold в сообщении #1291905 писал(а):

демонстрирует, что $\nabla_\theta\mathbf{e_\varphi}\neq0,$

Вероятно, Вы хотели сказать $\nabla_\varphi\mathbf{e_\theta}\neq0$, потому что как раз $\nabla_\theta\mathbf{e_\varphi}=0$.

[Ascold]

svv в сообщении #1292009 писал(а):

Если существуют такие координаты $(x^i)$, что $\mathbf e_i=\frac{\partial}{\partial x^i}$, базис будет координатным, потому что частные производные по двум переменным из одного набора независимых переменных (понятна ли оговорка?) коммутируют.

Да, понятна оговорка. Перечитал вторую главу, вроде, ясно.