Разница есть, но Вы её не так назвали и не к тому отнесли.
Это разница между векторными полями коммутирующими и некоммутирующими (пункт 2.15). Базисные векторные поля также могут коммутировать или не коммутировать. Шутц называет соответствующие базисы
координатный и
некоординатный, в другой литературе употребляются термины
голономный и
неголономный. Если существуют такие координаты
, что
, базис будет координатным, потому что частные производные по двум переменным
из одного набора независимых переменных (понятна ли оговорка?) коммутируют. Некоординатные базисы тоже широко применяются. Например, в приложениях сферическая система координат используется вместе с ортонормированным базисом
.
При переносе вектора
вдоль кривой
с касательным вектором
безразлично, коммутируют поля
и
, или нет. Это легко увидеть из того, что для переноса вдоль
(при заданной связности) достаточно того, что поле
задано только на
, а вектор
только в исходной точке; в этой ситуации коммутатор
не определён. То же относится к ковариантной производной вдоль
. Чтобы вычислить её, надо сверх указанного только задать поле
на
и затем найти указанный в формуле (6.2) предел, в котором фигурирует разность «истинного»
в точке и того, что получен параллельным переносом из близкой точки. Естественно считать, что когда «истинный»
как раз и получен параллельным переносом вдоль
и указанная разность равна нулю, то и
, and nothing else matters. Это отвечает на Ваш вопрос об универсальности.
Теперь, что представляет собой (6.6). Существует необозримое число векторных полей, для которых мы хотим вычислять ковариантную производную. Естественно такое желание: вычислить ковариантную производную базисных полей по базисным, чтобы, опираясь на это вычисление, для всех остальных полей её можно было бы вычислять легче, каким-нибудь разложением. Оказывается, что для этого надо в каждой точке вычислить
(где
) коэффициентов
, после чего задача сводится к обычному дифференцированию скалярных функций. Равенство (6.6) является просто определением
и не выражает каких-то особых свойств векторов
, кроме того, что они приняты за базисные. Если базис некоординатный, соответствующие величины тоже можно вычислить и применять их в той же роли с тем же успехом — это гарантируется формулами (6.3a) и (6.4c). В литературе я видел, что в этом случае они уже не называются символами Кристоффеля и обозначаются иначе, но Шутц различия не делает.
Перейдём от первых производных к вторым. В формулах (6.18) и (6.19) появляется слагаемое (второе в левой части), зависящее от коммутатора полей. В случае координатного базиса этот коммутатор обращается в нуль, и второе слагаемое можно выбросить. В каком-то смысле полученное определение кривизны
не является менее общим, потому что его легко распространить на поля общего вида (разложив их по координатному базису) и вернуться к (6.18).
-- Пн фев 12, 2018 13:48:42 --демонстрирует, что
Вероятно, Вы хотели сказать
, потому что как раз
.