Свободный полет о "понимании" формул

[misha.physics]

Здравствуйте. Захотелось поделится одной темой...
Как известно, язык физики это математика. Законы природи формулируются математическими соотношениями - формулами (пусть даже приближенно, но с удивительно хорошей точностью). И когда смотришь на них, то бывает возникает чувство, а почему она именно такая? А почему здесь кубическая зависимость? А почему здесь присутствуте число $\pi$. Почему в конце-концов здесь коэффициент $\frac{1}{12}$ в этой формуле для момента инерции... Думаю, вы поняли о чем я :)

Я всегда думал, и думаю, что эсли ты можешь дать ответы на эти вопросы, проследить, на каком этапе появляется тот или иной коэффициент, или физическая величина, может она какую-то симметрию отражает, или более общие соображения (свойства), то ты действительно понимаешь физику (эсли мы сейчас говорим в контексте физики). Ты можешь начать с одного конца рассуждений и прийти к другому, к выводу. Я думаю, что только тогда ты действительно понимаешь какое-то явление, формулу, если сможешь подойти к ней с разных сторон (эсли это возможно). Ты видишь её как-бы насквозь. Она у тебя как на ладони. Ты можешь взятся за любой конец клубка и дойти к другому. Но эти начальная и конечная точки рассуждений не обязательно должны быть как-то фиксированны. Идея в том, что задав эти точки, все промежуточные рассуждения не будут вызывать затруднений. Это великая идеализация (мне свойственно такое), но хотя бы немного это похоже на правду?

Поделитесь вашими соображениями на этот счет. Были или есть у вас такие-же идеи или желания.

В завершения пример: момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси которая проходит через конец стержня.
Формула: $I=\frac{1}{3}ml^2. Ну вы поняли, что такое $m$ и $l$
Сразу непонятно, почему

$$\frac{1}{3}$$

Откуда тройка? Чем она вызвана? Симметрией? Какой? Тем что стержень одномерен? Ну и что? Тем что ось проходит через конец? Ну и что?...Можна только сказать, например, что здесь есть какая-то идеализация. Потому что формула очень простая. Можно догадаться, что стержень однородный и т. д.
А вот эсли физик сможет сразу сказать, что при выводе можно применить теорему Гюйгенса-Штейнера, там уже получается

$$\frac{1}{2^2}$$

. Потом рассматриваем сумму моментов инерции двух половинок. Еще двойка. Ну а потом уже идут математические выкладки, и выходит

$$\frac{1}{3}$$

. Сейчас все понятно. И ты уже раз поняв это, не беспокоишся, что не понимаешь, почему коэффициент именно такой.
Или может есть какие-то более общие свойства, которые сразу дадут ответ о коэффициенте? Например бывает так, что есть какая-то формула в математике, вроде непонятная, но потом выясняется, что её смысл полностью раскрывается в тензорном анализе. Или в функциональном анализе. Или в ТФКП. Конечно во всех конкретных случаях это по разному, но сама эта идея такой связности и красоты мне кажется очень интересной. Это одна из причин, по которой можно посвятить свою жизнь той или иной науке.

Сразу скажу, что я не имею ввиду вопрос типа: а почему заряд электрона именно такой? В чем здесь глубинный смысл? Я понимаю, что размерные величины не имеют смысла, численное значение зависит от наших единиц измерения. Но значения безразмерных величин вызывает интерес. Например $\frac{1}{137}$, но все-равно в этой теме я имею ввиду немного другое. Хотя может оказаться, что это то же самое, не знаю...

Буду рад если поделитесь своими соображениями, и если эта тема окажется интересной, а не будет выглядеть как какой-то бред человека, который радуется непонятно чему

[Eule_A]

misha.physics
Когда известен окончательный результат, то можно найти десяток "наводящих соображений" к нему - а вот попробуйте угадать коэффициент, когда результат неизвестен. Не зря ведь ответ часто можно собрать из соображений размерности с точностью до коэффициента, но потом приходится этот коэффициент аккуратно рассчитывать. Бывает такое, что коэффициент имеет прозрачное происхождение, но это не значит, что каждый коэффициент нужно пытаться объяснить "из первых принципов".
Чтобы далеко не ходить за примером, возьмём тот же момент инерции. Вот Вам очень симметричное тело - шар. Из размерных соображений ничего другого, кроме $\alpha\cdot mR^2$ для момента инерции получиться не может. Наверное Вы знаете, чему равна $\alpha$. Дайте объяснение этому коэффициенту, а я посмотрю.

[atlakatl]

misha.physics
Вы абсолютно правы, говоря, что математика в физике не легкомысленная девица, пробующая всех и вся, а строгая очкастая матрона, завязанная на реальную практику естественной науки.
Вот задался математик, скажем, вопросом: сколько целочисленных треугольников имеют свойство: периметр = площади. И даже получил, что таких 5:
$i=24, a=6, b=8, c=10 i=30, a=5, b=12, c=13 i=36, a=9, b=10, c=17 i=42, a=7, b=15, c=20 i=60, a=6, b=25, c=29$

где i это P и S.
И понёсся к физикам: вот вам материал для исследований!
Те скептически покачали головой:
1. Где длина, а где площадь?
2. При чём в непрерывных величинах целочисленность?
3. Как может произвол в выборе мер длины и площади влиять на физические законы?
4. Так что вали в с свои математические дебри. Ты даже не Платон с его 5-ю телами, - применяющимися в реальной кристаллографии, а то и в квантовой физике.
Потому, когда в расчётах к кг прибавляются секунды, физик сразу понимает: что-то не так в его матрасчётах или с моделью.

Eule_A в сообщении #1291819 писал(а):

Дайте объяснение этому коэффициенту

Ну ведь это так просто: 2 полюса делим на 5 стран света.

[misha.physics]

Eule_A, спасибо, класно написали, вловили суть моего вопроса. Да, когда знаешь результат, то можно подходить с разных сторон. Я люблю так делать :) Лучше для понимания. Например в механике. Что-то простенькое.

Относительно шара, забавно получилось, что я непомню его момент инерции. Так еще интереснее. Я подумаю, чему он может быть равен, или от чего он может зависить, и позже выкладу свои размышления. Будет интересно.

Прошу других учасников не подсказывать :)

-- 11 фев 2018, 16:18 --

atlakatl, спасибо. Я не до конца понял пример. Вы имели ввиду, что физика интересует только то, что есть в природе, их описание с помощью математики и он не задается вопросом, о математической "магии"? Можете объяснить, если я неправильно вас понял?

-- 11 фев 2018, 16:21 --

Eule_A, так, похоже я уже невольно узнал о коэффициенте. Но ничего, подумаю, как бы я подходил к его определению исходя из каких-то "общих" предпосылок, которых вполне даже возможно не существует. Хотя можно подумать, как это число может получиться. Какие другие числа связанные с шаром могут дать такое число и какие вообще будут числа... Потому, что сами математические операции над числами проследить не очень просто...

atlakatl, я когда нажимал на ваш ник, то его почему-то синим цветом не выделило...

[Eule_A]

misha.physics в сообщении #1291833 писал(а):

Хотя можно подумать, как это число может получиться.

Подумать, конечно, можно. Только тут главное - не впасть в нумерологию.
А я Вам попозже приведу пример, когда коэффициент, действительно, имеет абсолютно прозрачное происхождение - тогда на контрасте ситуация ещё прояснится.

[atlakatl]

misha.physics в сообщении #1291833 писал(а):

физика интересует только то, что есть в природе

Eule_A в сообщении #1291819 писал(а):

Когда известен окончательный результат, то можно найти десяток "наводящих соображений" к нему

Второй тезис подтверждает первый.
Да, часто физику даже легче чем математику. Вот получил математик какое-то уравнение. Пытается вычислить тройной интеграл от него. А физику достаточно общих соображений: из закона сохранения энергии всегда плотность энергии обратно пропорциональна расстоянию. Почему-то не помню прецедентов, когда именно физика давала численный результат, - а математики его обосновывали.

-- 11.02.2018, 21:46 --

misha.physics в сообщении #1291833 писал(а):

синим цветом не выделило...

Не чёрный только для заслуженных. Это я абсолютно без иронии. Заслуженные участники действительно разбираются в темах, куда они влезают. В отличие.

[Eule_A]

atlakatl
Вы говорите, если я Вас правильно понял, именно об анализе размерностей. Коэффициент так не отловить. Но функциональные зависимости так нередко определяются, это да.
Я же говорил в процитированной фразе о том, что задним числом всё можно обосновать. Даже если, как в известном анекдоте, перевернуть график вверх ногами. Главное - есть, что обосновывать. Другое дело, что ценность таких "обоснований" сомнительна.

-- 11.02.2018, 17:53 --

(Оффтоп)

atlakatl в сообщении #1291839 писал(а):

всегда плотность энергии обратно пропорциональна расстоянию

Вот этого добавлять, наверное, не нужно было.

[atlakatl]

Eule_A

(Оффтоп)

Eule_A в сообщении #1291840 писал(а):

Вот этого добавлять, наверное, не нужно было.

Ну я же выше подчеркнул: "в отличие".
Никак не вспомню, с чем я перепутал плотность энергии - величиной, прямо пропорциональной расстоянию.

[misha.physics]

Eule_A, в общем размышления о шаре таковы (вы конечно же имели ввиду ось проходящую через центр шара):
Во 1-х, понял, что недостаточно интуитивно понимаю смысл момента инерции. Старался применить аналогию с массой. Подумал, что если раскрутить какое-то тело, то то тело, которое тяжелее будет остановить, или изменить его скорость, и будет обладать большей инерцией.
Во 2-х, попытался представить себе стержень длиной с диаметр шара, и подумать где момент инерции будет больше, если вращать его относительно оси, проходящей через его центр.
В 3-х, понял, что шар, вращающийся вокруг оси проходящей через его центр, в 3-х в трехмерном пространстве - "суперсиметричен" Здесь нет необходимости использовать упомянутую теорему.
В 4-х, подумал о формуле для объема шара.

В 5-х, невольно подумал об определении момента инерции, а значит и о прямом вычислении. Шар, интеграл, интегрирование по углам, по радиусу, якобиан,...ага может получиться дробь. И тут понял, что отхожу от темы. Я же должен был не вычислить момент инерции шара, а подобрать его из "общих" соображений. Понял, что дело обстоит намного сложнее. Я ещё очень мало знаю. Но было интересно. Мне кажется, что такие "задачки" очень полезные для тренировки того же мозка. НО, так действительно можно войти в нумерологию, а это очень вредно. Нельзя выдеть что-то в чем его нет. Это уже не физика. Сделал вывод, что попробовать можно, но нужно контролировать себя, чтобы не отходить от физики. Вот тогда это полезно.

Как вы понимаете, из "общих" соображений получить число не получилось, но может слишком мало думал. Поспешил отписать...

Может не всем будет интересно это читать. Я понимаю, что форум это не мой личный блог

-- 11 фев 2018, 17:43 --

atlakatl,

(Оффтоп)

Если обратно пропорционально расстоянию, то в электродинамике есть мультипольные разложения... Возможно вы имели ввиду соответствующий член... Нет?

[Eule_A]

(Оффтоп)

misha.physics в сообщении #1291845 писал(а):

Во 1-х, понял, что недостаточно интуитивно понимаю смысл момента инерции. Старался применить аналогию с массой. Подумал, что если раскрутить какое-то тело, то то тело, которое тяжелее будет остановить, или изменить его скорость, и будет обладать большей инерцией.

На этот случай есть уравнение, связывающее угловое ускорение вращающегося тела и вызывающий его момент сил. Специально пишу в самой простой форме:

$$N_z=I_z\beta_z.$$

Обозначения, думаю, понятны. В любом учебнике механике есть это уравнение. Оно аналогично второму закону Ньютона. Сформулируете роль массы, отталкиваясь от второго закона Ньютона - сформулируете и роль момента инерции во вращательном движении. Но тут мы уже отходим от исходной темы.

misha.physics в сообщении #1291845 писал(а):

Как вы понимаете, из "общих" соображений получить число не получилось, но может слишком мало думал. Поспешил отписать...

Меня больше радует этот вывод:

misha.physics в сообщении #1291845 писал(а):

Сделал вывод, что попробовать можно, но нужно контролировать себя, чтобы не отходить от физики.

А коэффициент $2/5$ в моменте инерции шара получается многими способами непосредственного расчёта - и колдовать в этом месте не нужно.

Теперь обещанный пример. Вы знаете закон Дюлонга и Пти?

[misha.physics]

Eule_A, помню это что-то из молекулярной физики. У нас лабораторная работа была. Если ничего не путаю. Но честно, не припоминаю о чем закон. Может что-то о давлении или... Врать не буду.

(Оффтоп)

Спасибо. Это действительно хороший способ проанализировать роль момента инерции во вращательном движении. Но нужно интуитивно понимать физический смысл момента силы. Хотя опыт с гаечным ключем (плече сил и т. д...) вроде бы дает какое-то понимание.

[Eule_A]

Этот закон, если совсем просто, говорит о том, что молярная теплоёмкость твёрдых тел при достаточно большой температуре (много больше дебаевской) постоянна и равна $3R$, где $R$ - это универсальная газовая постоянная. Закон приближённый, конечно. Он получается как предельный случай, скажем, из теории Дебая. О ней обычно в физике твёрдого тела рассказывают. Но тройка из закона Дюлонга и Пти (как и весь закон в целом) пишется и из гораздо более простых соображений.
Можете попробовать сообразить сами. Если не получится, то лучше будет об этом прочитать. Заодно с теорией Дебая познакомиться.

[misha.physics]

Eule_A, нам должны были о таком рассказывать в общей физике. А вот курса по твердому телу небыло. Был только спецкурс о квантовой теории твердого тела, но там отдельные вопросы затрагивали. О тройке подумаю, потом отвечу. Но этот вопрос мне кажется из рода типа, почему в уравнении молекулярной физике встречается коеффициент $\frac{3}{2}$. Тройка это число степеней свободы, двойка это "туда-обратно"...

[miflin]

misha.physics
Я дилетант в физике, поэтому не принимайте близко к сердцу.
Может лучше озаботиться не множителями, а показателями,
тем более, что множители зависят от выбора системы единиц...

[misha.physics]

miflin, да дело не в множителях. Это один из примеров. Вообще эту тему не стоит воспринимать очень серъезно. Мне просто было интересно, задумывался ли ещё кто-то о таких вещах. Тема претендует на свободный флейм, поэтому она и здесь, а не в разделе математики или физики :)

Ну когда мы пишем $V=\frac{4}{3}\pi R^3$, то мы о единицах измерения не говорим. Но откуда берется множитель интересно...
Но нет, это не очень удачный пример. Все-таки от единиц измерения зависимось есть...