Действие в классической механике и масштабное преобразование

[illuminates]

Для свободной частицы в классическом случае выглядит как:

$$S=\frac{m}{2}\int_{t_a}^{t_b}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2dt$$

Действие не инвариантно относительно масштабного преобразования:
t \rightarrow \alpha t
x \rightarrow \beta x
С другой стороны, на сколько я знаю, классическая механика инвариантна относительно масштабных преобразований = смене системы единиц. Пожалуйста объясните где я ошибаюсь?
Для квантовой механики такой проблемы нет, так как там действие делится на постоянную планку, которая обезразмеривает его.

[Slav-27]

Ну умножится действие на константу, и что, с экстремалями же ничего не случится.

[illuminates]

Slav-27
Просто обычно учат что теория будет обладать теми симметриями, которые заложены в действие. Можно ли сказать что масштабное преобразование всё же заложено в действие так как оно определенно в точности до мультипликативного множителя?

[amon]

illuminates в сообщении #1291495 писал(а):

ожно ли сказать что масштабное преобразование всё же заложено в действие так как оно определенно в точности до мультипликативного множителя?

Вопрос философский, но обычно принято считать, что первичны уравнения движения (уравнение Эйлера-Лагранжа). Тогда считается, что действие инвариантно, если преобразование не меняет этих уравнений. С этой точки зрения, умножение на константу, добавление полного дифференциала и т.п. не меняет действия.

[realeugene]

В тему, для меня так и остался невыясненным вопрос, почему в теориях относительности действие постулируется 4-скаляром? Для простоты и красоты, или в этом заложена какая-то более глубокая идея? Ведь всегда к действию можно добавить функцию координат (а к лагранжиану - полный дифференциал этой функции), и менять эту функцию при преобразованиях координат произвольным образом без изменений уравнений движения?

[physicsworks]

realeugene, мы хотим получить уравнения движения инваринтные отоносительно преобразований Лоренца. Оказывается, что если действие --- Лоренц-скаляр, соответствующие уравнения движения гарантировано Лоренц-инвариантны, как следует из принципа Гамильтона.

[Erleker]

Как я понимаю, вопрос realeugene не в том, почему действие такое, а почему не записали по-другому, не прибавили полную производную по времени к лагранжиану.
Просто, чтобы не вводить новые обозначения, раз $s$ есть.
Обратный пример: для действия гравитационного поля в ОТО лагранжиан обычно пишут с $R$, хотя подразумевается, что там содержится добавка, не подлежащая варьированию, в которой содержатся вторые производные. А "усеченное действие" писать дольше.
То есть, тогда да, выбирают из класса всевозможных действий с одинаковыми уравнениями движения то, которое красивее записать.
(а почему вообще рассматриваем такой класс, где есть 4-скаляр, выше описал physicsworks)

[realeugene]

(Оффтоп)

Внизу у каждого поста есть кнопка "пожаловаться", с восклицательным знаком на ней. Модераторы реагируют на кнопку быстрее, чем просто на возмущение в теме.

Erleker в сообщении #1291542 писал(а):

Просто, чтобы не вводить новые обозначения, раз $s$ есть.

Собственно, вопрос был в том, только ли из-за этого? Лоренц-инвариантность уравнений движения наблюдаема и вопросов, разумеется, не вызывает. Но ноги у этого вопроса растут в наблюдении, что в ньютоновской механике (да и в квантах) энергия определена с точностью до константы. В СТО прибавление произвольной константы к энергии приводит к тому, что действие перестаёт быть 4-скаляром, а энергия-импульс 4-вектором, но, кажется, и всё. Неудобно, но пока ещё ничего фатального, раз уравнения движения те же самые. А в ОТО ТЭИ является источником гравполя и, поэтому, наблюдаем. Или всё же не полностью? Но ломать этот 4-тензор не хочется совсем.

[physicsworks]

Нельзя просто так рассуждать о добавлении произвольной константы к энергии. В релятивистской физике, ровно как и в гравитации, свдиг энергии наблюдаем, в нерелятивистской же физике (и без учета эффектов гравитации) он ненаблюдаем, энергия определена с точностью до произвольной константы.

В (специальной) теории относительности энергия есть временная компонента 4-вектора импульса и поэтому важно нулевая она или нет. Энергия пустового простарнства Минковского должна быть нулевой, иначе энергия этого состояния не была бы Лоренц-инвариантной и можно было бы трансформировать ненулевую энергию в ненулевой 3-импульс посредством лоренцева буста.

В ОТО, поскольку энергия является источником кривизны пространства-времени, сдвиги энергии тоже оказываются важными и наблюдаемыми. Однородный сдвиг плотности энергии во Вселенной искривляет вакуум и называется космологической постоянной. Кроме того, темная энергия, оказывается, сохраняет лоренцеву симметрию.

-- 12.02.2018, 04:44 --

Так же сдвиг энергии становится наблюдаем когда можно сравнивать конфигурации, в которых струкутра энергетических уровней гармонических осцилляторов различна (эффект Казимира; метастабильные состояния, поведение которых для низких уровней энергии подобно гармоническому осциллятору и т.д.).

[realeugene]

physicsworks в сообщении #1291912 писал(а):

и можно было бы трансформировать ненулевую энергию в ненулевой 3-импульс посредством лоренцева буста.

Да, я упомянул, что тогда энергия-импульс перестали бы быть 4-вектором, что на мой взгляд неудобно, но не фатально. Их бы пришлось преобразовывать между ИСО иначе. Вобще, в ньютоновской механике это дело привычное. Но разве это наблюдаемое отличие?

-- 12.02.2018, 05:10 --

physicsworks в сообщении #1291912 писал(а):

Так же сдвиг энергии становится наблюдаем когда можно сравнивать конфигурации, в которых струкутра энергетических уровней гармонических осцилляторов различна (эффект Казимира; метастабильные состояния, поведение которых для низких уровней энергии подобно гармоническому осциллятору и т.д.).

Что мешает прибавить без последствий для результатов наблюдений одну и ту же добавку к энергии ко всем уровням квантовой системы сразу? Разность между парами уровней при этом никак не меняется. Ко всем состояниям добавляется вращающийся с одинаковой частотой фазовый множитель, что не влияет на результаты наблюдений

[physicsworks]

realeugene в сообщении #1291918 писал(а):

Да, я упомянул, что тогда энергия-импульс перестали бы быть 4-вектором, что на мой взгляд неудобно, но не фатально. Их бы пришлось преобразовывать между ИСО иначе. Вобще, в ньютоновской механике это дело привычное. Но разве это наблюдаемое отличие?

опять же, энергия пустого пространства Минковского должна быть нулевой, а не произвольной, иначе теряется лоренц-инвариантность.

realeugene в сообщении #1291918 писал(а):

Что мешает прибавить без последствий для результатов наблюдений одну и ту же добавку к энергии ко всем уровням квантовой системы сразу? Разность между парами уровней при этом никак не меняется. Ко всем состояниям добавляется вращающийся с одинаковой частотой фазовый множитель, что не влияет на результаты наблюдений

мешает то, что энергия нулевых колебаний пропорциональна частоте и, например, в случае эффекта Казимира, если прибавить произвольную постоянную $\Delta$ ко всем уровням энергии, cоответствующая сила между двумя пластинами после процедуры регуляризации (когда моды с большыми частотами обрезаются) получит добавку, пропорциональную этой вашей произвольной постоянной $\Delta$. А сила эта наблюдаемая.

[realeugene]

physicsworks в сообщении #1291945 писал(а):

иначе теряется лоренц-инвариантность.

Что именно перестаёт быть лоренц-инвариантным? К действию добавляется зависящая от выбора ИСО функция времени, которая не влияет на уравнения движения относительно этой ИСО. Для произвольной ИСО. А если уравнения движения не меняются, то как вы предлагаете увидеть лоренц неинвариантность?

-- 12.02.2018, 13:01 --

physicsworks в сообщении #1291945 писал(а):

когда моды с большыми частотами обрезаются

К сожалению, я не настолько хорошо знаком с КЭД, чтобы вас понимать. Вы произвольно выбираете порог отсечения мод по их энергии, после чего не меняете его при прибавлении к энергии константы и обнаруживаете, что поменялись предсказания теории?

[physicsworks]

realeugene в сообщении #1291983 писал(а):

Что именно перестаёт быть лоренц-инвариантным?

состояние с нулевой энергией.

realeugene в сообщении #1291983 писал(а):

К сожалению, я не настолько хорошо знаком с КЭД, чтобы вас понимать. Вы произвольно выбираете порог отсечения мод по их энергии, после чего не меняете его при прибавлении к энергии константы и обнаруживаете, что поменялись предсказания теории?

можно пользоваться любым регулятором при котором вклад мод с бесконечными энергиями подавялется, это асболютно неважно. Эффект Казимира не зависит от регулятора, будь это жесткое обрезание мод или гауссова функция, или Дзета-функция Римана, и т.д.

[realeugene]

physicsworks в сообщении #1291994 писал(а):

состояние с нулевой энергией.

То есть только в КЭД?

-- 12.02.2018, 13:42 --

physicsworks в сообщении #1291994 писал(а):

можно пользоваться любым регулятором при котором вклад мод с бесконечными энергиями подавялется, это асболютно неважно.

И при этом получается иной набор неотсечённых мод при сдвиге нулевой энергии? Потому что для любой наблюдаемой вклад в сумму каждой пары мод, для которой разность энергии не изменяется, тоже не изменяется.

[physicsworks]

realeugene в сообщении #1291995 писал(а):

То есть только в КЭД?

в КТП с плоским пространством-временем.

realeugene в сообщении #1291995 писал(а):

И при этом получается иной набор неотсечённых мод при сдвиге нулевой энергии? Потому что для любой наблюдаемой вклад в сумму каждой пары мод, для которой разность энергии не изменяется, тоже не изменяется.

здесь легче самому посчитайть и увидеть, что к чему и как. Для скалярного поля можно. Допустим, пользуемся heat-kernel регулятором:

$\displaystyle E(r) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \omega_n e^{-\omega_n/\pi \Lambda}$,

где $\omega_n = \pi n /r$, $r$ --- расстояние между пластинами.

Чтобы избавится от трудностей, обычно возникающих при рассчетах эффекта Казимира, можно воспользоваться таким трюком: поместить справа от от двух пластин, между которыми расстояние $a$, еще одну на расстоянии $L \gg a$, которое затем устремляется к бесконечности:
| <-a-> | ................... |
<--------L-------->
Тогда полная энергия получается:
$E_{tot} = E(a) + E(L-a)$, а сила Казимира есть
$F = - \frac{dE_{tot}}{da} \big|_{L \to \infty} = -\frac{\pi}{24 a^2}$ или после восстановления единиц $-\frac{\pi \hbar c}{24 a^2}$

Вот теперь сдвиньте каждую моду на $\Delta$, и увидите что сила получит добавку пропорциональную $\Delta$.