Функции: свойства и графики (Давидович)

[irod]

grizzly
спасибо
А как Вам 7.и и 7.к?

Пока я заканчиваю все формальности с монотонностью в 7.з, выложу следующий готовый пункт.

7.л) $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

Область определения: $\mathbb{R}$.
Определение четности/нечетности: нечетная.
Пересечение с осями координат: проходит через начало координат.
Найдем множество значений.
Для любого неотрицательного $x$ выполнено $x^2+1>x^2$; взяв корень из обеих частей, получим $\sqrt{x^2+1}>x$. Следовательно, с учетом нечетности функции, ее значения на $\mathbb{R}$ по модулю меньше единицы: $]-1,1[$.
Периодичность: нет.
График построим следующим образом: нарисуем на одном чертеже графики $x$ и $\sqrt{x^2+1}$ (квадратный корень из точек параболы $x^2$, сдвинутой вверх по $Oy$ на $1$), и разделим значения первого на значения второго. Ввиду нечетности функции, достаточно рассчитать таким образом точки лишь на положительной части $Ox$, а затем отразить их относительно начала координат.
Еще наблюдение (не знаю, нужно ли это):
можно представить функцию в виде $f(x)=\frac{g(x^2)}{h(x^2)}$, где $g(x)=\sqrt{|x|},h(x)=\sqrt{x+1}$ -- функции из пункта к) этой задачи.
Ранее в пункте к) было показано, что разность $h(x)-g(x)$ уменьшается с ростом $x$. Следовательно, значение $f(x)$ с ростом $x$ приближается к единице.
Точки для графика:
\begin{tabular}{rccccccccc} x & 0 & 1/4 & 1/2 & 3/4 & 1 & 2 \\ f(x) & 0 & $\approx 0.24$ & $\approx 0.45$ & 0.6 & $\approx 0.71$ & $\approx 0.89$ \\ \end{tabular}

Руководствуясь графиком, проведем формальное исследование функции на монотонность.
Пусть $0<x_1<x_2$. Преобразуем функцию, вынеся $x$ за знак корня:

$$ f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}}. $$

Имеем $\frac{1}{x_2}<\frac{1}{x_1}$ и, следовательно, $\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x_2}}}>\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x_1}}}$, т.е. функция возрастает на $[0,+\infty[$.
Применив нечетность функции, получим возрастание на $]-\infty,0]$.
Таким образом, функция возрастает на всей области определения.

[grizzly]

irod в сообщении #1288909 писал(а):

А как Вам 7.и и 7.к?

Да, там всё нормально.

irod в сообщении #1288909 писал(а):

можно представить функцию в виде $f(x)=\frac{g(x^2)}{h(x^2)}$, где $g(x)=\sqrt{|x|},h(x)=\sqrt{x+1}$

Это неаккуратно. Арифметический корень всегда положителен, а у Вас функция принимает и отрицательные значения.

irod в сообщении #1288909 писал(а):

Ранее в пункте к) было показано, что разность $h(x)-g(x)$ уменьшается с ростом $x$. Следовательно, значение $f(x)$ с ростом $x$ приближается к единице.

Вот это рассуждение не выглядит достаточным. Если бы Вы добавили, что $g(x)$ неограниченно возрастает, тогда оно хотя бы не было бы неверным :)

[irod]

grizzly
спасибо, подумаю как это исправить.

7.з) $\frac{1}{x^2+bx+1}$

Требуется исследовать и построить график функции $f(x)=\frac{1}{g(x)}$, где $g(x)=x^2+bx+1$ -- функция из задачи 2.б при $a=1,c=1$.
Повторим здесь некоторые факты про параболу $g(x)$ из задачи 2.б с учетом конкретных значений коэффициентов $a,c$.
Выделим полный квадрат:
$g(x)=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+1-\frac{b^2}{4}$.
Отсюда видно, что график $g(x)$ получается из параболы $y=x^2$ сдвигом на $\frac{b}{2}$ влево по $Ox$ и сдвигом на $1-\frac{b^2}{4}$ по $Oy$. Осью симметрии параболы $g(x)$ является прямая $x=-\frac{b}{2}$. Пересечение с $Oy$ происходит при $y=1$.
Вернемся к функции $f(x)$.
Область определения: $\mathbb{R}$ за вычетом корней многочлена $x^2+bx+1=0$, т.е. $\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4}}{2}\right\}$.
Множество значений: не содержит $0$.
Пересечение с $Oy$: $f(0)=1$.
Пересечение с $Ox$: не пересекается, т.к. $0$ не принадлежит множеству значений.
Определение четности/нечетности: при ненулевом $b$ не является ни четной, ни нечетной; при $b=0$ функция четная.
Периодичность: не периодична.
Разделим различные случаи в зависимости от знака дискриминанта $D=b^2-4$ функции $g(x)$. Для каждого отдельного случая будем строить график $g(x)$, и по нему строить график $\frac{1}{g(x)}$.
Точки для графика (при любом $D$):
\begin{tabular}{rcccc} x & 0 & $-b/2$ & -b \\ f(x) & 1 & $1-\frac{b^2}{4}$ & 1 \\ \end{tabular}

3.1) $D=0\Leftrightarrow 1-\frac{b^2}{4}=0\Leftrightarrow (b=2)\lor(b=-2)$.
В этом случае парабола $g(x)$ касается $Ox$ в точке $-1$ или $1$ в зависимости от значения $b$.
Для графика возьмем $b=-2$.

Множество значений $f(x)$: $[0,+\infty[$.

з.2) $D>0\Leftrightarrow 1-\frac{b^2}{4}<0 \Leftrightarrow |b|>2$.
В этом случае уравнение $g(x)=0$ имеет 2 действительных корня, т.е. парабола $g(x)$ пересекает $Ox$ в двух точках.
Для графика возьмем $b>2$.

Множество значений $f(x)$: $\mathbb{R}$.

з.3) $D<0\Leftrightarrow |b|<2$.
В этом случае уравнение $g(x)=0$ не имеет действительных корней, и парабола $g(x)$ не имеет точек пересечения с $Ox$.
Для графика возьмем $0<b<2$.

Множество значений $f(x)$: $\left]0,\frac{1}{1-\frac{b^2}{4}}\right]$.

Монотонность (общая для всех пунктов).
Из убывания (возрастания) функции $g(x)$ слева (справа) от точки $-\frac{b}{2}$ следует возрастание (убывание) функции $f(x)$ на тех же промежутках. При пересечении параболы $g(x)$ с осью $Ox$ (пункт з.2) уточненными промежутками возрастания (убывания) $f(x)$ будут $]-\infty,x_1[\cup\left]x_1,-\frac{b}{2}\right]$ ($\left[-\frac{b}{2},x_2\right[\cup]x_2,+\infty[$).

[grizzly]

Замечания по мелочам.

irod в сообщении #1288965 писал(а):

Множество значений: не содержит $0$.

Вот здесь двоеточие меняет смысл с правильного на неправильное.

irod в сообщении #1288965 писал(а):

Множество значений $f(x)$: $[0,+\infty[$.

А здесь одна из скобок вообще противоречит предыдущему :)

[irod]

grizzly
По 7.з - ок.
По 7.л - давайте уберем этот корявый кусок с отсылкой к 7.к:

irod в сообщении #1288909 писал(а):

Еще наблюдение (не знаю, нужно ли это):
можно представить функцию в виде $f(x)=\frac{g(x^2)}{h(x^2)}$, где $g(x)=\sqrt{|x|},h(x)=\sqrt{x+1}$ -- функции из пункта к) этой задачи.
Ранее в пункте к) было показано, что разность $h(x)-g(x)$ уменьшается с ростом $x$. Следовательно, значение $f(x)$ с ростом $x$ приближается к единице.

и вместо него пусть будет следующее.
Интуитивно, с ростом $x$ значения $\sqrt{x^2+1}$ и $\sqrt{x^2}=x$ сближаются, следовательно их отношение становится все ближе к единице.
(тем более в 7.к я точно так же сослался на интуицию)

[grizzly]

irod в сообщении #1289102 писал(а):

(тем более в 7.к я точно так же сослался на интуицию)

Ну, один раз я это пропустил, но нельзя же совсем на шею садиться Нет, я понимаю, что тему "предел функции" мы как бы ещё не проходили. Но что мешает Вам хотя бы косвенно подкрепить свою на интуицию задачей 6.г) Листка 12? И я не настаиваю, что Вы должны помнить все эти задачи, но можно ведь решить её заново. А с учётом доказанной монотонности Вам этого вполне хватило бы (и там, и здесь).

[irod]

grizzly
Да, я хотел сослаться на эту задачу. Исправляюсь.
7.к)
Если ограничить область определения только натуральными числами, то известно (задача 6.г листка 12), что с ростом $x$ значения $\sqrt{x+1}$ и $\sqrt{|x|}$ становятся все меньше и меньше удалены друг от друга. Очевидно, это имеет место и на положительной части $\mathbb{R}$. Следовательно, график $\sqrt{x+1}-\sqrt{|x|}$ с ростом $x$ приближается к $Ox$ (но не пересекает и не касается ее).
Для 7.л аналогично.

-- 02.02.2018, 11:20 --

7.м) $\frac{x^2}{\sqrt{2+x^2}}$

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $[0,+\infty[$.
Пересечение с осями координат: проходит через начало координат.
Определение четности/нечетности: четная.
Периодичность: нет.
График построим так: строим на одном чертеже графики $x^2$ и $\sqrt{2+x^2}$ и делим точки одного на точки другого.
Видно, что графики $x^2$ и $\sqrt{2+x^2}$ пересекаются в некоторой точке; значение $f(x)$ в этой точке равно $1$. Решением уравнения $x^2=\sqrt{2+x^2}$ является $x=\sqrt{2}$.
Рассчитаем точки для графика на положительной части оси $Ox$ и отразим их относительно $Oy$, применив четность функции.
Точки для графика:
\begin{tabular}{rccccccccc} x & 0 & 1/2 & 1 & $\sqrt{2}$ & 2 \\ $x^2$ & 0 & 1/4 & 1 & 2 & 4\\ $\sqrt{2+x^2}$ & $\sqrt{2}\approx 1.41$ & 1.5 & $\approx 1.73$ & 2 & $\approx 2.45$ \\ f(x) & 0 & $\approx 0.17$ & $\approx 0.58$ & 1 & $\approx 1.63$ \\ \end{tabular}

Руководствуясь графиком, проведем формальное исследование функции на монотонность.
Пусть $0<x_1<x_2$.
Преобразуем функцию, вынеся $x$ на знак корня:

$$ \frac{x^2}{\sqrt{2+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x^4}+\frac{1}{x^2}}}. $$

Отсюда

$$ \frac{1}{x_2}<\frac{1}{x_1} \Rightarrow \frac{2}{x_2^4}+\frac{1}{x_2^2}<\frac{2}{x_1^4}+\frac{1}{x_1^2} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x_2^4}+\frac{1}{x_2^2}}}>\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{x_1^4}+\frac{1}{x_1^2}}}, $$

т.е. функция возрастает на $[0,+\infty[$.
Применив четность функции, получим убывание на $]-\infty,0]$.

[grizzly]

irod в сообщении #1289368 писал(а):

Рассчитаем точки для графика на положительной части оси

Про "положительную часть оси" нужно было сказать чуть раньше -- до того, как Вы объявили наличие одной точки пересечения (одного решения уравнения, а не двух).

irod в сообщении #1289368 писал(а):

Руководствуясь графиком, проведем формальное исследование функции на монотонность.

Вот здесь я всё же прокомментирую (не столько для Вас, сколько на случай чтения школьниками этих тем). Мы пока руководствуемся графиком, используя какие-то интуитивные представления о функциях, но в дальнейшем у нас появятся более продвинутые инструменты анализа, не требующие напряжения интуиции. (На практике же мы всегда будем выбирать более подходящий для конкретных задач инструментарий.)

[irod]

7.н) $\{x\}-2\{x\}^2-[x]$

По определению,
$[x]=\lfloor x\rfloor=\max\{n\in\mathbb{Z}\mid n\leqslant x\}$ -- округление до целого в меньшую сторону;
$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ -- дробная часть.
Для построения графика $f(x)$ построим графики $\{x\},2\{x\}^2,[x]$ на одном чертеже и вычислим их разность.
Пусть везде ниже $n\in\mathbb{Z}$.
График любой функции $g(\{x\})$ на $[n,n+1]$ совпадает с графиком $g(x)$ на $[0,1]$, сдвинутым на $n$ по $Ox$.
Для любого $x\in[0,1]$ выполнено $f(x)=f(x+n)+n$, т.е. значения функции на $[0,1]$ отличаются от соответствующих значений на любом отрезке вида $[n,n+1]$ на константу.
Значит достаточно рассчитать значения $f(x)$ на $[0,1]$; после этого будет легко получить значения на любом отрезке $[n,n+1]$ вычитанием $n$ из рассчитанных точек.
Точки для графика на $[n,n+1]$:
\begin{tabular}{rccccccccc} $x$ & $n$ & $n+1/4$ & $n+1/2$ & $n+3/4$ & $n+1$ \\ $\{x\}$ & $0$ & $1/4$ & $1/4$ & $3/4$ & $0$ \\ $2\{x\}^2$ & $0$ & $1/8$ & $1/2$ & $9/8$ & $0$ \\ $[x]$ & $n$ & $n$ & $n$ & $n$ & $n+1$ \\ $f(x)$ & $-n$ & $-n+1/8$ & $-n$ & $-n-3/8$ & $-n-2$ \\ \end{tabular}

Руководствуясь графиком, закончим исследование функции.
Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $\mathbb{R}$.
Точки пересечения с осями координат приблизительно видны на графике; их точное вычисление здесь не требуется (мне так кажется).
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: нет (однако функции $\{x\},2\{x\}^2,\{x\}-2\{x\}^2$ -- периодические с периодом $n$).
Монотонность. Проверим формально возрастание на $\left[0,\frac{1}{4}\right]$ и убывание на $\left[\frac{1}{4},1\right[$.
Рассмотрим разность

$$ f(x_2)-f(x_1)= (\{x_2\}-\{x_1\})(1-2(\{x_2\}+\{x_1\})). $$

Множитель $\{x_2\}-\{x_1\}$ положителен для любых положительных $x_1,x_2$ таких, что $x_1<x_2$. Следовательно, знак $f(x_2)-f(x_1)$ зависит от знака $1-2(\{x_2\}+\{x_1\})$, который положителен при $0\le x_1<x_2<\frac{1}{4}$ и отрицателен при $\frac{1}{4}<x_1<x_2<1$. Значит, функция возрастает на $\left[0,\frac{1}{4}\right]$ и убывает на $\left[\frac{1}{4},1\right[$. Расширив эти результаты с $[0,1]$ на произвольный отрезок $[n,n+1]$, получим возрастание на $\left[n,n+\frac{1}{4}\right]$ и убывание на $\left[n+\frac{1}{4},n+1\right[$.

[grizzly]

irod в сообщении #1290263 писал(а):

Для построения графика $f(x)$ построим графики $\{x\},2\{x\}^2,[x]$ на одном чертеже и вычислим их разность.

Непонятно, что такое разность трёх чисел / графиков. Я бы, например, только ради более удачной формулировки в этой фразе сделал бы чуть иначе:
Для построения графика $f(x)$ построим графики $\{x\},-2\{x\}^2,-[x]$ на одном чертеже и вычислим их сумму.
(переделывать не нужно, конечно :) Мне вообще кажется, что если есть куча графиков с разными знаками, то суммировать их на одном чертеже намного удобнее, чем что-то отнимать, а что-то складывать.

[irod]

grizzly
ок.

Дайте пожалуйста какой-нибудь график для задачи 8. Или график для 6-й задачи подойдет?

[grizzly]

irod в сообщении #1290300 писал(а):

Или график для 6-й задачи подойдет?

Не, не подойдёт, Вы уже знакомы с более сложными функциями. Предлагаю взять последний график на этой странице (тремя сообщениями выше) на отрезке $[0;2]$ (область определения такая).

[irod]

7.о) $\frac{[x]}{\{x\}}$

Пусть везде ниже $n\in\mathbb{Z}$.
На каждом $[n,n+1[$ строим графики $[x],\frac{1}{\{x\}}$; график $f(x)$ получим, растягивая график $\frac{1}{\{x\}}$ в $n$ раз по $Oy$.
В целочисленных точках $n\neq 0$ график уходит на бесконечность; в точках $n+\frac{1}{2}$ значение функции равно $2n$.

Область определения: $\mathbb{R}$.
Множество значений: $\mathbb{R}$.
Монотонность. На $[n,n+1[$ функция $[x]=\lfloor x\rfloor=n$ постоянна, а функция $\{x\}$ монотонно возрастает. Следовательно, на $[n,n+1[$ функция $f(x)$ убывает при $n>0$, возрастает при $n<0$, и постоянна при $n=0$.
Точки пересечения с осями координат: значения функции на $[0,1[$ лежат на $Ox$.
Определение четности/нечетности: не является ни четной, ни нечетной.
Периодичность: нет (однако функция $\frac{1}{\{x\}}$ -- периодическая с периодом $n$).

[grizzly]

irod в сообщении #1290520 писал(а):

В целочисленных точках $n\neq 0$ график уходит на бесконечность;

... справа.

Вот эти места звучат сомнительно (в смысле области определения):

irod в сообщении #1290520 писал(а):

На каждом $[n,n+1[$



irod в сообщении #1290520 писал(а):

Область определения: $\mathbb{R}$.

irod в сообщении #1290520 писал(а):

и постоянна при $n=0$.

Так не говорят :) В фиксированной точке функция, если определена, принимает, очевидно, одно значение.

[irod]

Задача 8.
По данному графику функции $f(x)$ построить графики следующих функций:
а) $f^2(x)$; б) $\sqrt{f(x)}$; в) $\frac{1}{f(x)}$; г) $2^{f(x)}$; д) $[f(x)]$.

В качестве исходной функции $f(x)$ возьмем функцию $\{x\}-2\{x\}^2-[x]$ (задача 7.н) с областью определению $[0,2[$.


-- 08.02.2018, 11:15 --

По замечаниям к 7.о.

grizzly в сообщении #1290525 писал(а):

Вот эти места звучат сомнительно (в смысле области определения):

Область определения: $\mathbb{R}\setminus\{n\mid n\in\mathbb{Z}\}$.
И ошибка на графике: точка $(0,0)$ должна быть выколота.

grizzly в сообщении #1290525 писал(а):

irod в сообщении #1290520 писал(а):

и постоянна при $n=0$.

Так не говорят :) В фиксированной точке функция, если определена, принимает, очевидно, одно значение.

...и постоянна на $]0,1[$.