ДУ с обобщенной функцией.

[pogulyat_vyshel]

я, кажется, понял, чего вы не понимаете. Докажите утверждение. Пусть функция $f(x)$ -- непрерывна в окрестности точки $x=0$. Испортим ее, возьмем функцию $g(x)=f(x)$ при $x\ne 0$ и $g(0)\ne f(0)$. Теперь возьмем вашу любимую дельта-образную последовательность $\delta_n(x)=n$ при $x\in (0,1/n)$ и $\delta_n(x)=0$ при $x\notin(0,1/n)$. Проверьте, что

$$\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}g(x)\delta_n(x)dx=f(0)$$

[Sicker]

pogulyat_vyshel
это очевидно) Одна точка не вносит вклада в интеграл.
Но в данном случае мы имеем такие последовательности функций, которые сходят к вашей непрерывной в точке функции $y_n=f(x)$ при $x\notin(0:1/n)$; $y_n=g(x)$ при $x\in(0:1/n)$ и $f(x)\neq g(x)$
Тогда очевидно что ваше равенство не выполняется.

[Red_Herring]

Почти по Высоцкому писал(а):

Кто раньше объяснял, и те, кто будут после--пусть пробуют они, я лучше пережду

[Sicker]

Red_Herring
Lia
Вот вам долгожданное определение дельта-функции.
Дельта-функция - это класс эквивалентности дельта-образных последовательностей
Вот такое я использую определение.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1290079 писал(а):

Дельта-функция - это класс эквивалентности дельта-образных последовательностей
Вот такое я использую определение.

А говорят, что жестокие и необычные наказания запрещены!

[Sicker]

(Оффтоп)

Red_Herring
Вы имеете ввиду большевиков?

[pogulyat_vyshel]

Sicker в сообщении #1290079 писал(а):

Дельта-функция - это класс эквивалентности дельта-образных последовательностей

Правильно! А если кто спросит " на каком множестве и как отношение эквивалентности определено?" отвечайте "сам дурак!"

[Red_Herring]

Нет, дельтаобразные последовательности--это полезно, в качестве рабочего инструмента. Но вот определять дельта-функцию так? А вот как с другими обобщенными функциями поступить? Появятся дельта-штрих-образные последовательности, аппроксимирующие ейную производную (кстати, вы еще не определили, что такое "дельта-образная последовательность") ..., и даже без-образные последовательности (для мифической обобщенной функции "без").

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

В порядке тролинга.

Red_Herring в сообщении #1290136 писал(а):

Нет, дельтаобразные последовательности--это полезно, в качестве рабочего инструмента. Но вот определять дельта-функцию так? А вот как с другими обобщенными функциями поступить? Появятся дельта-штрих-образные последовательности, аппроксимирующие ейную производную (кстати, вы еще не определили, что такое "дельта-образная последовательность") ..., и даже без-образные последовательности (для мифической обобщенной функции "без").

выкрутиться, конечно, можно, если уж очень хочется иметь дело только с классическими функциями, пусть даже и с последовательностями
Берем дельта-образную последовательность $\{\delta_n\}\subset\mathcal{D}(\mathbb{R})$ у котрой носители всех элементов принадлежат одному компактному множеству. Пусть теперь $f$ -- обобщенная функция. тогда $\{f_n=f*\delta_n)\}\subset C^\infty(\mathbb{R})$ -- $f-$образная последовательность, сходится к $f$ в $\sigma(\mathcal{D}'(\mathbb{R}),\mathcal{D}(\mathbb{R}))$

[Sicker]

pogulyat_vyshel в сообщении #1290133 писал(а):

Правильно! А если кто спросит " на каком множестве и как отношение эквивалентности определено?" отвечайте "сам дурак!"

Скажите это Коломбу и Егорову
Вот мое определение, дельтообразная функция это такая функция, интеграл от которой единица, а вне бесконечно малого участка она равна нулю.

Red_Herring в сообщении #1290136 писал(а):

Появятся дельта-штрих-образные последовательности, аппроксимирующие ейную производную

А что не так? Я ее именно так и понимаю
И кстати, вот верны ли эти тождества
$\delta*\delta=\delta$
$\delta'*\delta=\delta*\delta'=\delta'$
$\delta'*\delta'=\delta''$
где $*$ - операция свертки.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1290152 писал(а):

Скажите это Коломбу и Егорову

Их обоих временами круто заносит... Умножение обобщенных функций что по Коломбо, что по Ю. Егорову, что по В.К. Иванову это ... такая хренотень ...

Ладно, вернемся к нашим баранам: у Вас есть определение дельта-функции, как класса эквивалентности дельта-образных последовательностей. Никаких других обобщенных функций у Вас пока нет. И определять $\delta':=\delta *\delta'$ при том, что ни $\delta'$, ни $*$ у Вас пока не определены, мягко говоря, жульничество.

[pogulyat_vyshel]

Sicker в сообщении #1290152 писал(а):

Скажите это Коломбу

Вообще-то обобщенные функции по Коломбо и по Шварцу (о которых тут идет речь) это две большие разницы. Все смешалось в доме...

Sicker в сообщении #1290152 писал(а):

И кстати, вот верны ли эти тождества
$\delta*\delta=\delta$
$\delta'*\delta=\delta*\delta'=\delta'$
$\delta'*\delta'=\delta''$
где $*$ - операция свертки.

при адекватном определении свертки это тривиальные тождества, а в чем проблема-то?

-- 05.02.2018, 03:09 --

а так это была попытка производную от дельта-функции определить? Ну пилите, Шура, пилите

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1290158 писал(а):

Ладно, вернемся к нашим баранам: у Вас есть определение дельта-функции, как класса эквивалентности дельта-образных последовательностей.

Есть

Red_Herring в сообщении #1290158 писал(а):

Никаких других обобщенных функций у Вас пока нет.

Нету

Red_Herring в сообщении #1290158 писал(а):

И определять $\delta':=\delta *\delta'$ при том, что ни $\delta'$, ни $*$ у Вас пока не определены, мягко говоря, жульничество.

Как это не определены? Стандартные операции свертки и взятия производной. Линейные операции.

-- 05.02.2018, 02:34 --

pogulyat_vyshel в сообщении #1290160 писал(а):

при адекватном определении свертки это тривиальные тождества, а в чем проблема-то?

Ни в чем, просто уточняю

pogulyat_vyshel в сообщении #1290160 писал(а):

а так это была попытка производную от дельта-функции определить?

Лол нет с чего вы взяли то?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1290162 писал(а):

Стандартные операции свертки и взятия производной.

А как вы определяете эти "стандартные операции" для еще неопределенных вами обобщенных функций?! Нормальные люди сначала определяют обобщенные функции, а потом распространяют на них эти операции...

Sicker в сообщении #1290162 писал(а):

Лол нет с чего вы взяли то?

Вот именно с того он и взял что дельта-штрих у вас нету!! В чем вы сами и сознались

Sicker в сообщении #1290162 писал(а):

Цитата:

Red_Herring в сообщении #1290158 писал(а):
Никаких других обобщенных функций у Вас пока нет.

Нету

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #1290164 писал(а):

А как вы определяете эти "стандартные операции" для еще неопределенных вами обобщенных функций?!

Как это неопределенных? Вот же определение

Sicker в сообщении #1290079 писал(а):

Дельта-функция - это класс эквивалентности дельта-образных последовательностей

Red_Herring в сообщении #1290164 писал(а):

Вот именно с того он и взял что дельта-штрих у вас нету!!

Как это нету? - вот же есть $\delta'$

Red_Herring в сообщении #1290164 писал(а):

Sicker в сообщении #1290162

писал(а):
Цитата:

Red_Herring в сообщении #1290158 писал(а):
Никаких других обобщенных функций у Вас пока нет.
Нету

Я имел ввиду что никаких кроме дельта и тех, которые получаются из нее линейными операциями.
Это же вроде очевидно было.

-- 05.02.2018, 05:22 --

Red_Herring в сообщении #1173059 писал(а):

Если же $f $не монотонна, то ответ более интересен. Пусть решение при $x\lessgtr T$ будет $c_\mp$. Тогда подойдет любое такое решение, т.ч.

$$\left\{\begin{aligned} &f(c_-)=f(c_+)=d,\\ &c_+ -c_-=d.\qquad \text{corrected}\\ \end{aligned}\right.$$

Кстати, в моем решении функция $f$ просто постоянна, а не немонотонна

-- 05.02.2018, 05:24 --

Red_Herring
pogulyat_vyshel
Я думаю чтобы нас рассудить надо позвать в тему Munin и amon, тогда счет будет 3:2