Лиса, Утка и озеро.

[grizzly]

wrest в сообщении #1289836 писал(а):

Если Утка в этот момент на диагонали квадратного озера

Тогда Лиса бежит по кратчайшему пути к ближайшей (к утке) вершине озерного квадрата. Это всё мелочи, там могут быть ещё нюансы. Не пытайтесь требовать от меня стратегию за Лису на все случаи жизни (или дайте сначала такую за Утку). Просто в реальной игре я надеюсь получить что-то около 5,5 или даже меньше.

[Dmitriy40]

Мне кажется меньше $5{,}7$ не получить, ведь есть же та самая выделенная точка $(0;0{,}3)$ (примерно), из которой даже при $k=5{,}7$ утка ещё выигрывает.
Но можете и попробовать. Берём $k=5{,}6$. Начальное положение: утка в центре, лиса где угодно от середины стороны до угла, но стоит на месте. Утка плывёт по диаметру прочь от лисы, внутри квадрата безопасности со стороной $1/k$ это всегда возможно. Новое начальное положение: утка и лиса на противоположных точках диаметра - выбирайте любой, от вертикального до диагонали, только скажите какой именно выбрали. Утка делает ход по тому же диаметру за пределы квадрата безопасности на $0{,}001$. Лиса останется на месте или побежит вправо? Если останется, то сколько будет ждать (до каких координат утки)?

Hint: если лиса в процессе развернётся на более короткую дугу - утка тоже развернётся обратно к диаметру, но с небольшим углом чтобы удаляться от центра. И если лиса не передумает, то
они обе вернутся на диаметр, но утка окажется чуть дальше от центра - бонус утке.

[grizzly]

Dmitriy40
Давайте сделаем не так. Давайте я для примера возьму коэффициент 5,66 и такой расклад:
Утка с центра плывёт по диагонали на северо-запад в точку (-1/8, 1/8). За это время очень тупая лиса бежит в противоположном направлении в угол -- как раз успевает добежать до угла (посчитайте, пжл, там с точностью до тысячных).

Вот с этой диагональной позиции я предлагаю Вам сделать ход за утку. Я надеюсь за пару ходов Вас убедить, что скорости 5,66 этой тупой лисе теперь хватит. Но я подозреваю, что на старте лиса может играть чуть умнее.

[Dmitriy40]

Предлагаю такую стратегию лисы в зависимости от координат $(x;y)$ утки для $k=5{,}7$:
1. Если $y\geqslant0{,}3$ лиса бежит в $(|x|/x;y)$ или $(1;0)$ если $x=0$.
2. Если $0\leqslant y<0{,}3$ и $x=0$ лиса бежит в $(0;-1)$.
3. Если $0\leqslant y<0{,}3$ и $x\ne0$ лиса бежит в $(|x|/x;y)$.
4. Если $y<0$ и $y\leqslant-|x|$ лиса бежит в $(x;-1)$.
5. Если $y<0$ и $y>-|x|$ лиса бежит в $(|x|/x;y)$.
Если лиса забежала за угол на другую сторону - разворачиваем карту чтобы лиса оказалась на нижней стороне и меняем координаты утки.

П.1 отвечает за срыв лисы при удалении утки строго в плюс по оси $OY$ и продолжение бега при отклонении утки от оси $OY$ и выбор более короткой дуги если утка вернулась и пересекла ось (до достижения лисой угла).
П.2 или удерживает лису в южном полюсе (если $x=0$) или возвращает её туда при развороте утки.
П.3 срывает лису и гонит на другую сторону при отклонении утки от оси $OY$ и разворот лисы обратно если утка вернулась обратно к оси $OY$ и пересекла её.
П.4 выполняется для области ниже обеих диагоналей и держит лису строго под уткой.
П.5 срабатывает при уходе утки влево/вправо за диагональ и гонит лису на другую сторону.
С учётом разворотов карты вроде бы учтены все случаи.

PS. Нецелые числа округлены. $|x|/x$ - выбор $+1$ или $-1$ в зависимости от знака $x$.
PPS. Для утки оптимальным почти как и было, плыть на север до $(0;0{,}3)$, потом по прямой на запад до примерно $(-0{,}1754;0{,}3)$ и лишь потом (после разворота карты) довернуть на известный угол на юго-запад (в исходной ориентации карты). Если плыть сразу под наклоном - лиса выберет короткую дугу и утке или привет, или придётся вернуться на ось $x=0$.

-- 03.02.2018, 23:25 --

grizzly в сообщении #1289958 писал(а):

Вот с этой диагональной позиции я предлагаю Вам сделать ход за утку.

Ну раз утка и лиса на диаметре, то как и говорил, утка продолжает плыть по нему, например в точку $(-0{,}127;0{,}127)$. Лиса? Если останется на месте, то скажите сколько утка должна проплыть строго по диагонали чтобы лиса куда-то стронулась?

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1289961 писал(а):

у раз утка и лиса на диаметре, то как и говорил, утка продолжает плыть по нему, например в точку $(-0{,}127;0{,}127)$. Лиса?

Лиса тронулась и бежит против часовой стрелки на максимальной скорости, пока утка не изменит направление. Утка?

[Dmitriy40]

grizzly
Послушайте, я не прикинул сразу, ведь до $1/k\approx 0{,}177$ утка может нивелировать любые потуги лисы уйти с диаметра. Согласны? Тогда мне рассматривать движение внутри квадрата $1/k$ не интересно, утка всегда может остаться на диаметре. Вопрос лишь на каком именно (это зависит от лисы) и что делать потом, после выхода за пределы квадрата $1/k$. Потому я и предлагал начать с ухода утки за квадрат $1/k$ по любому выбранному Вами диаметру (на другом конце которого была лиса). Ну скучно по шагам расписывать удержание утки на диаметре, скучно, это доказывается угловыми скоростями.

[Geen]

Завтра попробую написать, что у меня получается...
Но пока лишь, никак не пойму, почему Вы пытаетесь решать игру с начала - ведь все игры всегда с конца надо анализировать...

[grizzly]

Dmitriy40
Это был предельный случай, когда я согласен был попасть на диаметр.

Но я согласен, Ваше предложение было лучше. Итак, утка находится в точке (-0,177;0,177). Я ставлю лису в точку (0,5; -1). Ход утки.

-- 04.02.2018, 00:01 --

Geen
Мы просто ленимся и развлекаемся

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1289970 писал(а):

Может, доиграем? Я не вижу, как Вы меня собираетесь вернуть на диаметр.

Ну ... Пусть лиса сместилась в точку $(1;-0{,}984)$ (это ровно в $k$ раз дальше утки). Новый диаметр имеет наклон уже не 45°, а $\arctg(0{,}984)$, что составляет 44,538°. Утка делает такой же шаг под углом 45° влево-вниз в координаты $(-0{,}129;0{,}125)$. Наклон её диаметра составляет 44,098°, что меньше наклона диаметра лисы (и это я взял направление не слишком точно, надо то было шагать под углом 44,538°). Т.е. утка вслед за лисой смога не только вернуться на диаметр, но и перешагнуть его чуть дальше. Утка внутри квадрата $1/k$ следует за перемещениями лисы, а не наоборот.
Я так и буду шагать в сторону диаметра лисы (или вместе с этим и чуть дальше от центра когда это возможно) - внутри квадрата $1/k$ я всегда достигаю диаметра лисы за один шаг (перпендикулярно ему).
Итак утка в $(-0{,}129;0{,}125)$. Лиса?

grizzly в сообщении #1289974 писал(а):

Итак, утка находится в точке (-0,177;0,177). Я ставлю лису в точку (0,5; -1).

Не имеете права, лиса и утка не на диаметре, а внутри квадрата $1/k$ утка всегда может оставаться на диаметре. В данном случае лиса должна быть в $(1;-1)$ или утка в $(-0{,}088;0{,}177)$, выбирайте. Или любой другой диаметр, но один для обоих!

[grizzly]

Dmitriy40
Я плохо объяснил. Делайте внутри этого квадрата, что хотите. Я не сдвинусь с точки (0,5; -1), пока утка не начнёт покидать квадрат -- укажите, в какой точке это произойдёт. Если утка отказывается покинуть квадрат, то она умрёт с голоду раньше лисы :)

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1289978 писал(а):

Я не сдвинусь с точки (0,5; -1), пока утка не начнёт покидать квадрат -- укажите, в какой точке это произойдёт.

Я указал: из координат $(-0{,}088;0{,}177)$ вверх-влево под углом 26,565° влево от вертикали - т.е. строго по диаметру от лисы. Куда и на сколько сместится лиса?

[grizzly]

Dmitriy40
Понял, торможу.
Лиса бежит по часовой стрелке.

-- 04.02.2018, 00:32 --

И продолжает бежать, пока утка движется в любом северном направлении.

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1289982 писал(а):

в любом северном направлении

Я правильно понимаю что это равносильно условию $dy>0$ (т.е. увеличения $y$)? Тогда утка поворачивает и движется по прямой в точку $(1;0{,}2)$ - непрерывно "в любом северном направлении". Проходит путь $1{,}088243$, лиса за это время проходит путь $6{,}159456$ до координат $(1;0{,}34)$ - и утку не достигает!
Если лиса быстро попробует развернуться вправо (против часовой) - утка тоже развернётся обратно влево, но уже с чуть увеличенным $y$ - бонус утке.
Даже при движении утки в $(1;0{,}3)$ лиса её всё равно не настигает, но уже буквально микроны (добегает лишь до $(1;0{,}3027)$.

[grizzly]

Dmitriy40
Нет, так нечестно
Хорошо, я зарекаюсь давать настолько далёкие прогнозы. Утка не имеет право знать заранее ходы лисы.
Лиса бежит по часовой стрелке до того момента, пока утка пересекает ось $OY$. В это время можем считать, что лиса тоже оказалась на этой оси, а утка на границе внутреннего квадрата.

Если у Вас нет выигрышной стратегии, предлагаю подождать до завтра. Я почти уверен, что Geen прояснит ситуацию более формально.

Или продолжим?

[Dmitriy40]

grizzly в сообщении #1289987 писал(а):

Лиса бежит по часовой стрелке до того момента, пока утка пересекает ось $OY$. В это время можем считать, что лиса тоже оказалась на этой оси, а утка на границе внутреннего квадрата.

Вы словами описали обычное начальное состояние: утка в $(0;1/k)$, лиса в $(0;-1)$.
Отсюда утка попрёт вертикально вверх, в сторону увеличения $y$. Вплоть до $(0;1-4/k \approx 0{,}2933)$ если лиса никуда не дёрнется. С этой точки утка успевает в северный полюс. И это именно та самая критическая точка. Когда и куда побежит лиса?