Льем воду

[vamoroz]

Уважаемые участники форума.
Проверьте правильность решения следующей задачи.
Имеется 9 ведер, из которых вода переливается из ведра в ведро по следующим правилам.
Все ведра разделены на две группы. Ведра первой группы обозначим A, C, E, G, I . Ведра второй группы обозначим B, D, F, H . Переливать воду между ведрами одной группы запрещено. Перелив воды между ведрами первой и второй группы происходит последовательно. Сначала переливается вся вода из ведер первой группы в ведра второй группы. После того, как все ведра первой группы будут пусты, начинается перелив воды наоборот, из ведер второй группы в ведра первой.
Кроме того, определены следующие правила перелива:
1. Вся вода из ведра A льется в ведро B
2. Вся вода из ведра B-го ведра делится пополам и льется в ведра A и C
3. Вся вода из ведра C-го ведра делится пополам и льется в ведра B и D
4. Вся вода из ведра D-го ведра делится пополам и льется в ведра C и E
5. Вся вода из ведра E-го ведра делится пополам и льется в ведра D и F
6. Вся вода из ведра F-го ведра делится пополам и льется в ведра E и G
7. Вся вода из ведра G-го ведра делится пополам и льется в ведра F и H
8. Вся вода из ведра H-го ведра делится пополам и льется в ведра G и I
9. Вся вода из ведра I-го ведра льется в ведро H

Перед началом перелива в одно из ведер первой группы наливается вода. Все остальные 8 ведер пусты. Спрашивается, как распределится вода по ведрам первой группы при бесконечно большом количестве переливе воды между группами.

Решение.
Обозначим количество воды в ведрах $A, B, …, I$ как $K(A), K(B), …, K(I)$.
На основании условий 1-9 составляется система дифференциальных уравнений

$$\begin{cases} \frac {dK(A)} {dt} =-K(A)+\frac {K(B)} 2\\ \frac {dK(B)} {dt} =K(A) -K(B)+\frac {K(C)} 2\\ \frac {dK(C)} {dt} =\frac {K(B)} 2 -K(C)+\frac {K(D)} 2\\ \frac {dK(D)} {dt} =\frac {K(C)} 2 -K(D)+\frac {K(E)} 2\\ \frac {dK(E)} {dt} =\frac {K(D)} 2 -K(E)+\frac {K(F)} 2\\ \frac {dK(F)} {dt} =\frac {K(E)} 2 -K(F)+\frac {K(G)} 2\\ \frac {dK(G)} {dt} =\frac {K(F)} 2 -K(G)+\frac {K(H)} 2\\ \frac {dK(H)} {dt} =\frac {K(G)} 2 -K(H)+K(I)\\ \frac {dK(I)} {dt} =\frac {K(H)} 2 -K(I) \\\end{cases}$$

Выражение $\frac {dK(A)} {dt}$ соответствует скорости изменения количества воды в ведре А .
Так как нас интересует стационарное распределение, то приравниваем значения производных нулю.
$ \frac {dK(A)} {dt} = \frac {dK(B)} {dt} = ... =\frac {dK(I)} {dt} =0$
В результате получается система линейных уравнений, которую добавляем уравнением
$K(A) + K(C) + K(E) + K(G) + K(I)= 1$ (одно из ведер первой группы полное).
В результате имеем решение
$K(A) = K(I)= 1/8$ (Ведра A и I заполнены на одну восьмую.)
$K(C) = K(E) = K(G) = 1/4$ (Ведра C, E, G заполнены на четверть.)

[eugensk]

А почему состояние вёдер будет сходиться к стационарному решению?

[svv]

Ответ правильный, а решение — нет.
eugensk прав, стационарность Вы не обосновали. Например, при таких правилах её отсутствие очевидно:
вся вода из $A$ льётся в $B$
вся вода из $B$ льётся в $C$
вся вода из $C$ льётся в $D$
вся вода из $D$ льётся в $A$

vamoroz в сообщении #1289326 писал(а):

На основании условий 1-9 составляется система дифференциальных уравнений

Лучше так:
$\begin{bmatrix}A_{n+1}\\[0.5ex]C_{n+1}\\[0.5ex]E_{n+1}\\[0.5ex]G_{n+1}\\[0.5ex]I_{n+1}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\frac 1 2&\frac 1 4&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 2&\frac 1 2&\frac 1 4&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 4&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 2\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 4&\frac 1 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_{n}\\[0.5ex]C_{n}\\[0.5ex]E_{n}\\[0.5ex]G_{n}\\[0.5ex]I_{n}\end{bmatrix}$

[vamoroz]

Уважаемый eugensk
Вы задали хороший вопрос. Доказательства стационарного решения у меня как такового нет. Кстати, это заметил и svv.
Была только гипотеза о его существовании, которая подтвердилась. Приравнивая значения производных нулю, составляя систему линейных уравнений и решая эту систему, гипотеза проверяется. Если система уравнений не имеет решений, то никакого стационарного решения нет. Система уравнений имеет решение. Следовательно, стационарное решение существует.

Уважаемый svv.
С Вашей матричной моделью согласен, если матрица будет немного подправлена.

[svv]

Как именно?

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1289326 писал(а):

Перед началом перелива в одно из ведер первой группы наливается вода.

Это условие - лишнее.
Во-первых, потому что в условие задачи не указано,
в которое конкретно ведро перед началом перелива наливается вода,
во-вторых, в решении задачи это никак не используется.

[vamoroz]

Уважаемый svv

Уточните, пожалуйста, в каких единицах измеряются значения, внесенные Вами в Вашу матрицу и какой их физический смысл.

По поводу стационарного решения, - мое доказательство принято?

[arseniiv]

vamoroz в сообщении #1289522 писал(а):

Уточните, пожалуйста, в каких единицах измеряются значения, внесенные Вами в Вашу матрицу и какой их физический смысл.

Ну тут же всё ясно с первого взгляда: безразмерные, определяют доли воды, попавшие из одних вёдер в другие после двух итераций.

Вот честно, вы до сих пор с этой задачей не разобрались — это ладно, это личное дело каждого, сколько тянуть резину. Но зачем её постоянно оформлять разными словами? От этого математически не меняется ничего, совершенно ничего — так в чём цель?

[eugensk]

vamoroz в сообщении #1289522 писал(а):

По поводу стационарного решения, - мое доказательство принято?

В смысле?
Если сразу набрать столько воды как в решении, то состояние меняться уже не будет - это Вы показали (как-то, если производные заменить на дискретные приращения).
Что из начального состояния когда-нибудь станет столько воды как в решении - это Вы не показали.
Может, удастся это сделать через сжимающее отображение, может, как-то еще, но делать надо.

[Лукомор]

eugensk в сообщении #1289532 писал(а):

Может, удастся это сделать через сжимающее отображение, может, как-то еще, но делать надо.

На мой взгляд, проще это сделать, представив текущее значение количества воды в каждом ведре в виде суммы/разности найденного предельного значения и избытка/недостатка воды до этого предельного значения, после очередного переливания.
Например:
После $S$ переливаний, количество воды в ведре $A$ будет равно
$A(S)=K(A)+\Delta A(S)$,
где $K(A)=\frac{1}{8}$,
а $\Delta A(S)$ некоторая функция, предел которой
$\lim\limits_{S\to\infty}{\Delta A(S)}=0$

[svv]

В матричном варианте ответ на эти вопросы дают собственные значения:
$\begin{array}{l}\lambda_1=1\\[0.5ex]\lambda_2=\frac 1 4(2+\sqrt 2)\\[0.5ex]\lambda_3=\frac 1 2\\[0.5ex]\lambda_4=\frac 1 4(2-\sqrt 2)\\[0.5ex]\lambda_5=0\end{array}$
Кроме $\lambda_1$, все они по модулю меньше единицы. Поэтому при эволюции выживает только та «часть» вектора состояния, которая принадлежит собственному подпространству $\lambda_1$, то есть пропорциональна собственному вектору $v_1=(1, 2, 2, 2, 1)$. Более того, так как $\lambda_1=1$, а не $-1$, решение не «мигает», как в моём примере выше. Нормируя $v_1$ на заданное начальное количество воды, получаем стационарное решение
$v=\frac 1 8(1, 2, 2, 2, 1)$.

Целевая аудитория этого сообщения равна нулю. Большая часть присутствующих это и так знает, а тем, на кого не будем показывать пальцем, что-то объяснять бесполезно.

[vamoroz]

arseniiv в сообщении #1289528 писал(а):

Вот честно, вы до сих пор с этой задачей не разобрались — это ладно, это личное дело каждого, сколько тянуть резину. Но зачем её постоянно оформлять разными словами? От этого математически не меняется ничего, совершенно ничего — так в чём цель?

Уважаемый arseniiv.
Вы задали хороший вопрос, - какова цель создания темы «Льем воду».
Попробую ответить на него. До этого, в темах «Доска Гальтона» (topic105812.html) и «Как распределятся падающие шарики» (topic111233.html) рассматривалась серия случайных событий. В отличие от этих тем случайные события в теме «льем воду» не рассматриваются, по определению. Как Вы заметили, математическая модель, детерминипованного процесса полностью совпадает с математической моделью процесса случайного. Спрашивается, какой процесс более сложный, детерминированный или случайный? Мне кажется, что случайный. Получается, что более сложный процесс подменяется (апроксимируется) более простым. На данном этапе хочется разделить эти два процесса и рассмотреть более простой процесс, процесс детерминированный.
Я ответил на Ваш вопрос?

[Лукомор]

vamoroz в сообщении #1289957 писал(а):

В отличие от этих тем случайные события в теме «льем воду» не рассматриваются, по определению.

Эта тонкая грань между случайным и детерминированным...

С одной стороны, отдельную молекулу воды вполне можно считать шариком, который при переливании воды может попасть равновероятно в одно из двух ведер. Тогда, после достаточно большого количества переливаний вероятность того, что данная молекула окажется в данном ведре, в точности равна той части воды, которая окажется в этот момент в данном ведре.

С другой стороны, детерминированная доска Гальтона (Pascal's Marble Run), отличающаяся тем, что вместо гвоздиков имеет переключатели, отправляющие все нечетные шарики налево, а все чётные - направо в строгой очередности, точно так же моделирует нормальное распределение, как и вероятностная доска Гальтона.

[arseniiv]

vamoroz в сообщении #1289957 писал(а):

В отличие от этих тем случайные события в теме «льем воду» не рассматриваются, по определению. Как Вы заметили, математическая модель, детерминипованного процесса полностью совпадает с математической моделью процесса случайного. Спрашивается, какой процесс более сложный, детерминированный или случайный? Мне кажется, что случайный.

Ну, соответствующую пословицу вы, надеюсь, знаете.

vamoroz в сообщении #1289957 писал(а):

Я ответил на Ваш вопрос?

Пока для простоты ситуации будем считать, что да.

[vamoroz]

Уважаемый svv
В своем сообщении

svv в сообщении #1289695 писал(а):

$\begin{array}{l}\lambda_1=1\\[0.5ex]\lambda_2=\frac 1 4(2+\sqrt 2)\\[0.5ex]\lambda_3=\frac 1 2\\[0.5ex]\lambda_4=\frac 1 4(2-\sqrt 2)\\[0.5ex]\lambda_5=0\end{array}$

Вами были упомянуты собственные значения некой матрицы.
Это та матрица?
$ \begin{bmatrix}\frac 1 2&\frac 1 2&0&0&0\\[0.5ex]\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 4&0&0\\[0.5ex]0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 4&0\\[0.5ex]0&0&\frac 1 4&\frac 1 2&\frac 1 4\\[0.5ex]0&0&0&\frac 1 2&\frac 1 2\end{bmatrix} $