Лиса, Утка и озеро.

[wrest]

Geen в сообщении #1289108 писал(а):

На четыре - будут ещё две "точки" в бесконечности...

Так вот именно: небольшие флуктуации кривизны берега будут вызывать большие флуктуации формы "эволюты" с выбросами её за пределы озера, такое поведение "зоны безопасности" мне кажется нефизичным.

[worm2]

А "эволюта" — и не "зона безопасности" вовсе. Это для круга так совпало, видимо, из-за радиальной симметрии. А тут "эволют" вообще две. И вполне вероятно, что выходить нужно не на одну из них. Существенны лишь семейства красных и синих прямых, по одной из которой Утка должна двигаться на втором этапе, а первый этап до сих пор покрыт мраком. То, что у семейств есть огибающие — возможно, это не более чем попытка напоследок хоть как-то аналитически описать их перед окончательным погружением в омут численного решения.

[Geen]

worm2 в сообщении #1289117 писал(а):

И вполне вероятно, что выходить нужно не на одну из них.

Всё-таки, других кандидатов пока нет.

wrest в сообщении #1289110 писал(а):

такое поведение "зоны безопасности" мне кажется нефизичным.

Ну так плоский берег и угол с бесконечной кривизной нефизичны...

-- 01.02.2018, 15:08 --

worm2 в сообщении #1289117 писал(а):

То, что у семейств есть огибающие

Это рассеивающая поверхность (в терминах Айзекса, по крайней мере, и если я не путаю)

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1288780 писал(а):

По моим прикидкам, если в $\approx 5,9$ раз.

Это для квадрата. У меня столько же, $k \approx 5{,}90143057$, при этом утка двигается из угла внутреннего квадрата почти в середину стороны (на $1{,}332\%$ стороны ближе к себе по берегу). Аналитическое выражение получил, но в неявном виде (нужен максимум $k$ при изменении $x$ от $0$ до $1+1/k$ из выражения $(k(1-x)+1)^2+(k-1)^2=(6-x)^2$), решать лень, определил по графику.
Если утке двигаться из угла точно в середину стороны, то максимум $k=1+2\sqrt{6} \approx 5{,}898979$, что совсем чуть-чуть меньше.

Для равностороннего треугольника в простом случае (движение из вершины внутреннего треугольника по прямой к ближайшей точке берега) получается $k=3 \sqrt{3} +2 \approx 7{,}196$, но этот результат можно ещё немного улучшить. Например до $k \approx 7{,}42705$ (есть аналитическое выражение) если двигаться не к ближайшей стороне, а к противоположной от той куда побежала лиса, но тоже по высоте. Если не по высоте, а чуть под углом, то можно улучшить до $k \approx 7{,}50531$ (выражение снова неявное, определил снова по графику).

Цифры $k_4 \approx 5{,}90143057$ (для квадрата) и $k_3 \approx 7{,}50531$ (для треугольника) похожи на предел, если движение начинать из статического положения утки (оттуда, где она ещё может компенсировать бесконечно малые смещения лисы). Есть ли траектории когда лиса бежит "по инерции" к углу с лучшим пределом мне непонятно, кажется что нет, но до конца не уверен.

[EUgeneUS]

Немного про стратегии.

1. Будем считать, что утка всегда может заставить бежать лису по длиной дуге.
1.1. Если лиса почему-то побежала по короткой - утка просто меняет свое направление, и лиса опять бежит по длинной дуге.
1.2. Такая суета не выгодна лисе, так как она мечется вокруг одной точки, а утка приближается к другому берегу.

2. Тогда оптимальная стратегия утки будет такая:
2.1. Подплываем к берегу! Очень близко.
2.2. Лиса обязана быть рядом.
2.3. Плывем к другому берегу.

Для окружности геометрически решение тоже самое: приплываем к кругу безопасности по касательной, и плывем дальше по этой касательной.
Но если лиса утку не догоняет, такая стратегия увеличивает время поедания травы, относительно старта от круга безопасности

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1289131 писал(а):

Для окружности геометрически решение тоже самое: приплываем к кругу безопасности по касательной, и плывем дальше по этой касательной.

Если вы имеете в виду что сначала

EUgeneUS в сообщении #1289131 писал(а):

2.1. Подплываем к берегу! Очень близко.
2.2. Лиса обязана быть рядом.

То нет, доплыть только до круга безопасности не выйдет. Как только Лиса сравняла угол с Уткой, Утке надо плыть строго внутрь круга безопасности, где угловая скорость Утки строго больше чем у Лисы, чтобы сделать угол между Уткой и Лисой равным развернутому, и он должен стать развернутым в тот момент, когда Утка изнутри круга безопасности выходит на окружность безопасности. И потом уже Утка плывет по касательной. Если Лиса нас не послушала и бегает вокруг озера даже если Утка внутри круга безопасности, то Утка плывет по какой-то спирали (мы знаем что это возможно, но "оптимальную" спираль не рассчитывали пока).

-- 01.02.2018, 15:45 --

Dmitriy40 в сообщении #1289128 писал(а):

Это для квадрата. У меня столько же, $k \approx 5{,}90143057$,

Я просто умножал отношение радиусов описанной и вписанной в квадрат окружностей на $4,6$, так получил $5,9$

[Dmitriy40]

Для правильного 6-ти угольника интересно получилось, если утке плыть из вершины по высоте к стороне, то $k \approx 4{,}9242$, если же чуть довернуть, то можно получить $k_6 \approx 5{,}0068712$ (выражение снова неявное) - насколько мало заходит за ровно $5$! Хорошая задачка может получиться (есть ли решение для $k=5$), но слишком сложная для аналитического решения.
Ещё интересно что ни в одном из проверенных случаев оптимальная траектория не уходит за середину стороны (включая и круг тоже).

-- 01.02.2018, 16:53 --

Для правильного 5-ти угольника если утке плыть по высоте, то $k \approx 5{,}31557$, если чуть довернуть, то $k_5 \approx 5{,}335207$.

[Dmitriy40]

Для правильного 6-ти угольника нашёл другое решение, ещё капельку больше, $k_6 \approx 5{,}06794734$. Но дальше уже точно некуда.

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1289128 писал(а):

Это для квадрата. У меня столько же, $k \approx 5{,}90143057$

Не обижайте лису - уверен, мне хватит $5.08$

[Dmitriy40]

Geen в сообщении #1289237 писал(а):

Не обижайте лису - уверен, мне хватит $5.08$

Вот путь утки (зелёный) $0{,}83$ и лисы (красный) $4{,}83$, отношение скоростей $k\approx 5{,}8$, маленький квадрат со стороной $0{,}34$.
Или будете спорить что начальное положение не реализуемо?

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1289278 писал(а):

Вот путь утки (зелёный) $0{,}83$ и лисы (красный)

Не обижайте лису

[Dmitriy40]

Жду аргументированных возражений.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1289278 писал(а):

Или будете спорить что начальное положение не реализуемо?

Ну если не секрет, скажите, какое было положение на доске ход назад.

Но из указанного положения я не вижу лучшей стратегии за лису.

-- 02.02.2018, 00:45 --

Не могу понять, какое горе заставило лису на последнем ходу залезть в угол.

[wrest]

grizzly
Ну квадрат же квадратный, у него есть углы, вот она и... голод не тётка!

[Geen]

Dmitriy40 в сообщении #1289281 писал(а):

Жду аргументированных возражений.

Давайте играть.
Пусть, для простоты подсчётов, скорость лисы 5.4, сторона квадрата 54, утка в центре.
Ваш ход - поместите лису куда угодно.