Вообще-то если вы в дифференциальном уравнении меняете дельта-функцию на дельта-образную последовательность, то полученная последовательность классических решений классических систем ДУ совсем не обязана сходиться в каком-либо смысле к обобщенному решению исходной системы. В данном случае может и сходится, мне просто проверять лень.
И задачи Коши тут ставить тоже, вообще говоря, совершенно бессмысленно.
Дельта-образная последовательность сходится к дельта-функции
слабо в
(ну или там в сопряженном к какому-нибудь пространству непрерывных или сколько то раз дифференцируемых функций) просто по определению. Вы хотели дельта-образную последовательность -- вот я вам выписал, ваш дифур в терминах предела дельта-образной последовательности. Вы можете перейти к этому пределу в этих формулах и убедиться, что решение, которое предложил
Red_Herring это действительно решение, и что от значения
ни чего не зависит. Обобщенные функция это глобальный объект, даже такая простая как дельта-функция. И если вы видите дифур в обобщенных функциях, то понимайте, что на самом деле это интегральное тождество, даже если оно записано в форме дифура. И пытаться разглядывать обобщенные решения в отдельных точках -- это совершенно пустое занятие.