Давление в турбокомпрессоре

[siago]

Помогите решить задачу. В полом цилиндре с торцевыми стенками высотой полости 3 см и диаметром 200 мм с помощью лопаток закручивается воздух, поступающий через свободное отверстие на оси цилиндра. Каково установившееся давление воздуха на стенки цилиндра при скорости вращения лопаток 1000 рад/с? Трением и объемом лопаток пренебречь.
До чего я додумался? Ну, во-первых, какие происходят процессы? Термодинамические процессы происходят при раскрутке лопаток и после раскрутки пока температура в цилиндре выровняется с температурой наружной среды. Когда температура выровняется процессы прекращаются. Разница давлений у стенки цилиндра и у его оси поддерживается динамически. С точки зрения термодинамики состояние статическое, с точки зрения механики - динамическое. Я решил, что давление создается за счет сил инерции, то бишь центробежной силы. Ее формула $ F = mw^2R$, которую можно подставить в формулу давления $P = F S = mw^2RS $.
А вот здесь я застопорился. Если при неподвижных лопатках массу воздуха, находящуюся в секторе, приходящемся на единицу площади цилиндрической стенки, можно найти через плотность воздуха и объем, ограниченный сектором, то как найти массу вращающегося воздуха, я не представляю. Плотность зависит от давления, а давление мы ищем. Натолкните на мысль.

[Alex-Yu]

siago в сообщении #1287849 писал(а):

то как найти массу вращающегося воздуха, я не представляю. Плотность зависит от давления, а давление мы ищем.

А какого порядка давление обычно получается в таких компрессорах? И как оно соотносится с нормальным атмосферным давлением?

[siago]

Alex-Yu в сообщении #1287850 писал(а):

А какого порядка давление обычно получается в таких компрессорах? И как оно соотносится с нормальным атмосферным давлением?

Я думаю, порядка 1,1 - 1,5. Но здесь скорость вращения довольно высокая, а центробежная сила зависит в квадрате от скорости, поэтому я не удивлюсь, если будет 2 атм или больше.

[slavav]

$P = FS$? Вы уверены?

[siago]

slavav в сообщении #1287876 писал(а):

$P = FS$? Вы уверены?

О, прошу прощения! $P = \frac{F}{S}$

[Alex-Yu]

siago в сообщении #1287853 писал(а):

я не удивлюсь, если будет 2 атм или больше.

При таком давлении, конечно, нужно решать с учетом сжимаемости. Но рекомендую все же сначала решить для несжимаемого воздуха. Только учтите, что давление меняется по радиусу, так что придется интегрировать, разбив воздух между лопатками на тонкие слои толщиной $dr$. И, кстати, при этом выяснится, что еще нужен внутренний диаметр лопаток.

Когда решите для несжимаемого воздуха, легко будет увидеть, что учесть сжимаемость --- делать нечего, просто, перед тем, как интегрировать, подставить $\rho$ как функцию от $P$ и перенести этот множитель туда, где $dP$.

И, конечно, это получится максимальное давление, при заткнутом выходе компрессора. Чтобы вычислить зависимость давления от расхода, нужно учесть, что воздух движется не только по окружности, а еще и по радиусу. В результате кривизна траектории (а значит и центробежная сила) станет меньше. Эта задача (с учетом расхода) получается уже сложнее. Для начала надо решить без расхода.

[slavav]

Из условия можно найти внутренний диаметр лопаток.

[slavav]

Расчёт показывает что рост давления на стенке будет несколько процентных пунктов. Учёт сжимаемости воздуха необязателен.

[siago]

Alex-Yu в сообщении #1287943 писал(а):

При таком давлении, конечно, нужно решать с учетом сжимаемости. Но рекомендую все же сначала решить для несжимаемого воздуха. Только учтите, что давление меняется по радиусу, так что придется интегрировать, разбив воздух между лопатками на тонкие слои толщиной $dr$. И, кстати, при этом выяснится, что еще нужен внутренний диаметр лопаток.

Когда решите для несжимаемого воздуха, легко будет увидеть, что учесть сжимаемость --- делать нечего, просто, перед тем, как интегрировать, подставить $\rho$ как функцию от $P$ и перенести этот множитель туда, где $dP$.

И, конечно, это получится максимальное давление, при заткнутом выходе компрессора. Чтобы вычислить зависимость давления от расхода, нужно учесть, что воздух движется не только по окружности, а еще и по радиусу. В результате кривизна траектории (а значит и центробежная сила) станет меньше. Эта задача (с учетом расхода) получается уже сложнее. Для начала надо решить без расхода.

Конечно, с учетом сжимаемости. В этом и смысл задачи. Я обо всем этом думал, что вы сказали. Для несжимаемого воздуха это задача для восьмого класса, ее решить легко, а вот как учесть сжатие? Не понял, что такое внутренний диаметр лопаток. Но он, я думаю, не нужен, если нам задали толщиной лопаток пренебречь.
Тут есть еще одна такая задача. Она должна так же решаться. Может она натолкнет на мысль?
Задача. В полом цилиндре с торцевыми стенками с помощью лопаток закручивается воздух, поступающий через свободное отверстие на оси цилиндра. Какой диаметр цилиндра должен быть, чтобы давление на его стенки в установившемся режиме превысило наружное в два раза. Скорость вращения лопаток 1000 рад/с. Трением и объемом лопаток пренебречь.

-- 28.01.2018, 23:56 --

Alex-Yu в сообщении #1287943 писал(а):

Чтобы вычислить зависимость давления от расхода, нужно учесть, что воздух движется не только по окружности, а еще и по радиусу.

В установившемся режиме он по радиусу уже не будет двигаться, по радиусу будет двигаться только при раскрутке и по мере остывания нагретого воздуха. У нас установившийся режим.

[slavav]

siago, если вы покажете как решаете задачу для несжимаемого воздуха, я покажу вам место где надо будет подкорректировать.

Что означают "3 см" в условии задачи?

[Alex-Yu]

siago в сообщении #1288155 писал(а):

Для несжимаемого воздуха это задача для восьмого класса, ее решить легко,

Ну не совсем для восьмого класса, все же интеграл... Впрочем, если случай небольших по радиусу лопаток (много меньше самого радиуса), то действительно для восьмого класса. Но в общем случае -- интеграл.

-- Пн янв 29, 2018 14:06:37 --

siago в сообщении #1288155 писал(а):

а вот как учесть сжатие?

Легко. Для начала напишите выражение для $dP$ (изменение давления при бесконечно малом перемещении по радиусу). Когда напишите, подскажу что делать дальше.

Ну а для случая небольших по радиусу лопаток нужно воспользоваться вполне школьным приемом: выразить искомую величину через нее саму (получится уравнение, которое можно затем решить).

-- Пн янв 29, 2018 14:07:40 --

siago в сообщении #1288155 писал(а):

В установившемся режиме он по радиусу уже не будет двигаться, по радиусу будет двигаться только при раскрутке и по мере остывания нагретого воздуха. У нас установившийся режим.

Не верно. Верно только для компрессора с заткнутым выходом. Откуда ж выходной поток, если движения по радиусу нет...

-- Пн янв 29, 2018 14:09:54 --

siago в сообщении #1288155 писал(а):

Не понял, что такое внутренний диаметр лопаток

Это диаметр входного отверстия.

-- Пн янв 29, 2018 14:11:39 --

siago в сообщении #1288155 писал(а):

Может она натолкнет на мысль?

Ну меня наталкивать ни к чему, мне тут и так все понятно

[siago]

slavav в сообщении #1288157 писал(а):

siago, если вы покажете как решаете задачу для несжимаемого воздуха, я покажу вам место где надо будет подкорректировать.

Что означают "3 см" в условии задачи?

3 см это высота внутренней полости цилиндра. Она в решении не используется, служит для отвлечения внимания или осталась как рудимент от задач, где учитываются расходы воздуха. Об этом говорит то, что в других аналогичных задачах она отсутствует.
Решение для несжимаемого воздуха. Давление находим по формуле $P=\frac{F}{S}$, где $F=m\omega^2R$ - центробежная сила, действующая на молекулы воздуха общей массой $m$, находящиеся в призме высотой $h=10^{-2}m$ и площадью $S_1=0,5 l R$, ограниченной сектором круга, опирающемся на дугу длиной $l=10^{-2}m$. Общая масса воздуха, находящегося в призме $m=\rho V=\rho S_1 h=(1,2) (0,5) (100) (1) 10^{-6}=(2,4) 10^{-5} (kg)$. Отсюда $P=(2,4) 10^{-5}10^6(0,1)/10^{-4}=(0,24)10^5(N/m^2)$

[DimaM]

siago в сообщении #1288248 писал(а):

Давление находим по формуле $P=\frac{F}{S}$, где $F=m\omega^2R$ - центробежная сила, действующая на молекулы воздуха общей массой $m$, находящиеся в призме высотой $h=10^{-2}m$ и площадью $S_1=0,5 l R$, ограниченной сектором круга, опирающемся на дугу длиной $l=10^{-2}m$.

Нехорошо так. Надо бы выделить цилиндр малой площади, расположенный вдоль радиуса, и учесть, что в разных точках $R$ разный.

siago в сообщении #1288248 писал(а):

$P=(2,4) 10^{-5}10^6(0,1)/10^{-4}=0,24(N/m^2)$

С этими чиселками получается $2.4\cdot 10^4$ вообще-то.

[siago]

Alex-Yu в сообщении #1288190 писал(а):

Для начала напишите выражение для $dP$ (изменение давления при бесконечно малом перемещении по радиусу). Когда напишите, подскажу что делать дальше.

Как видите, давление я нашел и без интеграла (8 класс). Но возможно интеграл нам понадобится для расчета сжатого воздуха. Тогда мы запишем его так: $P=dF/dS$, где dF - центробежная сила, а dS - площадь малого участка цилиндрической поверхности, вдоль которого движется воздух. Но я в затруднении. Ведь сила у нас одинакова на любом участке цилиндрической поверхности. Может быть, есть смысл ее рассматривать в точках вдоль радиуса? Но я пока не понимаю, для чего.

Alex-Yu в сообщении #1288190 писал(а):

Верно только для компрессора с заткнутым выходом. Откуда ж выходной поток, если движения по радиусу нет...

Так у нас задача теоретическая, поэтому и выхода не только заткнутого, но и вообще нет. Поэтому и режим установившийся после набора скорости вращения и охлаждения сжатого воздуха и, соответственно, движения по радиусу уже нет.

-- 29.01.2018, 17:00 --

DimaM в сообщении #1288250 писал(а):

Нехорошо так. Надо бы выделить цилиндр малой площади, расположенный вдоль радиуса, и учесть, что в разных точках $R$ разный.

С этими чиселками получается $2.4\cdot 10^4$ вообще-то.

Чиселки я поправил (извините). А почему так, как я сделал нехорошо? Я нашел давление на стенки, что и требовалось. Нужно $dP/dR$?

[DimaM]

siago в сообщении #1288255 писал(а):

А почему так, как я сделал нехорошо?

Потому что сила неправильно найдена. Масса, кстати, тоже найдена неправильно.

siago в сообщении #1288255 писал(а):

Нужно $dP/dR$?

Да.