Хочу попытаться получить формулу для производной вектора во вращающейся системе координат:
![$$
\left. \dfrac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm dt} \right|_\text{вращ} = \dfrac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm dt} + \left[ \mathbf r \times \boldsymbol \omega \right].$$ $$
\left. \dfrac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm dt} \right|_\text{вращ} = \dfrac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm dt} + \left[ \mathbf r \times \boldsymbol \omega \right].$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/2/252221e6938de236039a7b2667971a2882.png)
Ограничимся случаем, когда вращение происходит вокруг оси

. Для того, чтобы заставить систему координат вращаться, используем матрицу поворота в виде

то есть система координат вращается со скоростью

и каждый вектор в неподвижной системе подлежит умножению на оператор поворота слева для получения вектора в подвижной системе. Получаем тогда в подвижной системе

где производная от матрицы понимается в покомпонентном смысле. Выразим отсюда производную в неподвижной системе

Легко видеть, что

и в том числе
![$$
-\hat T^{-1} \dfrac{\mathrm d \hat T}{\mathrm dt} \mathbf r = \begin{pmatrix}
0 & - \omega & 0 \\
\omega & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}
\mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z \\
0 & 0 & -\omega \\
x & y & z
\end{vmatrix} = [\boldsymbol \omega \times \mathbf r].
$$ $$
-\hat T^{-1} \dfrac{\mathrm d \hat T}{\mathrm dt} \mathbf r = \begin{pmatrix}
0 & - \omega & 0 \\
\omega & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} = \begin{vmatrix}
\mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z \\
0 & 0 & -\omega \\
x & y & z
\end{vmatrix} = [\boldsymbol \omega \times \mathbf r].
$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/6/536b7778cffbf875e3b26d8ee78c40a782.png)
Проблема со вторым слагаемым

. Производная во вращающейся системе, как я понял, именно

, что отличается множителем

от того, что получилось. В чём у меня ошибка?