Производная во вращающейся системе координат

[StaticZero]

Хочу попытаться получить формулу для производной вектора во вращающейся системе координат:

$$ \left. \dfrac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm dt} \right|_\text{вращ} = \dfrac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm dt} + \left[ \mathbf r \times \boldsymbol \omega \right].$$

Ограничимся случаем, когда вращение происходит вокруг оси $Oz$. Для того, чтобы заставить систему координат вращаться, используем матрицу поворота в виде

$$ \hat T = \begin{pmatrix} \cos \omega t & -\sin \omega t & 0 \\ \sin \omega t & \cos \omega t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, $$

то есть система координат вращается со скоростью $\boldsymbol \omega = -\omega \mathbf e_z$ и каждый вектор в неподвижной системе подлежит умножению на оператор поворота слева для получения вектора в подвижной системе. Получаем тогда в подвижной системе

$$ \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\hat T \mathbf r) = \dfrac{\mathrm d \hat T}{\mathrm dt} \mathbf r + \hat T \dfrac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm dt}, $$

где производная от матрицы понимается в покомпонентном смысле. Выразим отсюда производную в неподвижной системе

$$ \dfrac{\mathrm d \mathbf r}{\mathrm dt} = \hat T^{-1} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} (\hat T \mathbf r) - \hat T^{-1} \dfrac{\mathrm d \hat T}{\mathrm dt} \mathbf r. $$

Легко видеть, что

$$ \hat T^{-1} \dfrac{\mathrm d \hat T}{\mathrm dt} = -\omega\begin{pmatrix} \cos \omega t & \sin \omega t & 0 \\ -\sin \omega t & \cos \omega t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin \omega t & -\cos \omega t & 0 \\ \cos \omega t & \sin \omega t & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & - \omega & 0 \\ \omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, $$

и в том числе

$$ -\hat T^{-1} \dfrac{\mathrm d \hat T}{\mathrm dt} \mathbf r = \begin{pmatrix} 0 & - \omega & 0 \\ \omega & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{vmatrix} \mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z \\ 0 & 0 & -\omega \\ x & y & z \end{vmatrix} = [\boldsymbol \omega \times \mathbf r]. $$

Проблема со вторым слагаемым $\hat T^{-1} \dfrac{\mathrm d(\hat T \mathbf r)}{\mathrm dt}$. Производная во вращающейся системе, как я понял, именно $ \dfrac{\mathrm d(\hat T \mathbf r)}{\mathrm dt}$, что отличается множителем $\hat T^{-1}$ от того, что получилось. В чём у меня ошибка?

[warlock66613]

StaticZero в сообщении #1288130 писал(а):

формулу для производной вектора во вращающейся системе координат

Какая ужасная терминология. А ошибка вот тут:

StaticZero в сообщении #1288130 писал(а):

Производная во вращающейся системе, как я понял, именно $ \dfrac{\mathrm d(\hat T \mathbf r)}{\mathrm dt}$

[Alex-Yu]

warlock66613 в сообщении #1288144 писал(а):

Какая ужасная терминология. А ошибка вот тут:

В физике это стандартная терминология. Во всяком случае применительно к различным магнитным резонансам. И ошибка вовсе не тут.

Дело на самом деле вот в чем. Математически вектор в неподвижной системе координат (подразумевается на самом деле система отсчета, если быть пуристом) и вектор во вращающейся --- два РАЗНЫХ вектора. Во всяком случае компоненты у них разные. А обозначены эти два РАЗНЫХ вектора одной буквой. Отсюда и путаница. И еще. Разберитесь какой из этих двух векторов под векторным произведением в формуле, что Вы хотите получить. И все станет очевидно

[warlock66613]

Alex-Yu в сообщении #1288146 писал(а):

И ошибка вовсе не тут.

Да, вы правы. (Это я не сообразил, что $\frac d {dt} ...$ он "в любой системе" $\frac d {dt} ...$, он не может стать $T^{-1} \frac d {dt} ...$

-- 29.01.2018, 00:39 --

Alex-Yu в сообщении #1288146 писал(а):

Во всяком случае применительно к различным магнитным резонансам.

Интересно. Я привык к более адекватной типа "локальная производная / относительная производная".

[Pphantom]

StaticZero в сообщении #1288130 писал(а):

Хочу попытаться получить формулу для производной вектора во вращающейся системе координат:

Это слишком сложно. Существенно проще выразить изменение вектора $\mathrm d \mathbr r$ при повороте его относительно на угол $\mathrm d \varphi = \omega \mathrm d t$.

[Cos(x-pi/2)]

А почему бы просто не написать так:

$\mathbf{r}(t)=x_k(t)\,\mathbf{e}_k(t) \, , \, ($ по дважды повторяющемуся индексу суммируем). Орты $\mathbf{e}_k$ вращаются относительно неподвижной системы отсчёта.

$\dot{\mathbf{r}}=\dot{x}_k\mathbf{e}_k+x_k\dot{\mathbf{e}}_k \, .$

$\dot {\mathbf{e}}_k=[\boldsymbol \omega \times \mathbf{e}_k] \, ,$ так как все три $\mathbf{e}_k$ вращаются с угловой скоростью $\boldsymbol \omega .$ Поэтому:

$\dot {\mathbf{r}}=\dot{x}_k\mathbf{e}_k+ [\boldsymbol \omega \times \mathbf{r}] \, .$